Para obter uma amostra de tamanho 1.000 dentre uma população de tamanho 20.000, organizada em um cadastro em que cada elemento está numerado sequencialmente de 1 a 20.000, um pesquisador utilizou o seguinte procedimento:

I - calculou um intervalo de seleção da amostra, dividindo o total da população pelo tamanho da amostra: 20.000/1.000 = 20;

II - sorteou aleatoriamente um número inteiro, do intervalo [1, 20]. O número sorteado foi 15; desse modo, o primeiro elemento selecionado é o 15° ;

III - a partir desse ponto, aplica-se o intervalo de seleção da amostra: o segundo elemento selecionado é o 35° (15+20), o terceiro é o 55° (15+40), o quarto é o 75°(15+60), e assim sucessivamente.

O último elemento selecionado nessa amostra é o

Os jogadores X e Y lançam um dado honesto, com seis faces numeradas de 1 a 6, e observa-se a face superior do dado. O jogador X lança o dado 50 vezes, e o jogador Y, 51 vezes.

A probabilidade de que o jogador Y obtenha mais faces com números ímpares do que o jogador X, é:

A Tabela a seguir mostra a distribuição de pontos obtidos por um cliente em um programa de fidelidade oferecido por uma empresa.

A mediana da pontuação desse cliente é o valor mínimo para que ele pertença à classe de clientes “especiais”.

Qual a redução máxima que o valor da maior pontuação desse cliente pode sofrer sem que ele perca a classificação de cliente “especial”, se todas as demais pontuações forem mantidas?

Um processo produz um tipo de componente elétrico cujo diâmetro, em mm, é uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade f_Y(y) = 6y(1 – y) para 0 < y < 1.

De acordo com essa função, a média e a variância dos diâmetros dos componentes produzidos por esse processo são, respectivamente:

Considere uma variável aleatória cuja função densidade de probabilidade é simétrica, em relação ao seu valor esperado e que E(X) = 20 e VAR(X) = 16. Seja a variável aleatória Y definida por Y=βX - α, com α, β ε ℝ⁺,onde E(Y)=0 e VAR(Y)=1.

O valor de β+α é

A seleção amostral pode ser feita, em geral, por dois métodos. As amostras podem ser probabilísticas e não probabilísticas. No caso de amostras não probabilísticas há uma preocupação com a representatividade, mas sem garantias da aleatoriedade.

Sobre esse tipo de seleção, é correto afirmar que:

Suponha que as penas previstas para punição por corrupção e lavagem de dinheiro, a serem aplicadas a um ex-chefe do executivo, são em média iguais a 12 anos. Registros passados indicam que, em geral, a variância é de 24 anos ao quadrado, com igual distribuição e independentes umas das outras.

Considere Φ(1,25)≅0,9  Φ(1,5)≅0,95; Φ(2)≅0,975 e  Φ(2,25)≅0,99, onde Φ(z) é a função acumulada da N (0,1) .

Se o réu, que será julgado em 6 processos, for condenado em todos, a probabilidade de que a sua pena exceda 45 anos é: 

Suponha que a tramitação de um processo tem 16 etapas. Cada uma delas tem uma duração aleatória, com distribuição exponencial de parâmetro β = 2 semanas.

Logo, fazendo uso do Teorema do Limite Central e sendo Φ(1)≅ 0,75, Φ(1,2)≅ 0,90 , Φ(1,5)≅0,95 e Φ(2)≅ 0,975 , a probabilidade de um processo do referido tipo desviar da média por: 

Para verificar se a proporção geral de recursos meramente protelatórios é muito elevada, elabora-se o seguinte teste de hipóteses: Ho: p ≤ 0,75 contra Ha: p >0,75.

Para sua realização, uma amostra de tamanho n = 5 é extraída, sendo o critério de rejeição de Ho estabelecido caso o número de recursos daquele tipo seja maior do que 4.

Se a verdadeira probabilidade é igual a 0,80, as probabilidades de ocorrência dos erros dos tipos I e II são, respectivamente:

Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com certa distribuição de probabilidade conjunta conhecida.

Então, sobre a esperança matemática ou a variância, é correto afirmar que:

Seja y variável aleatória contínua com distribuição uniforme no intervalo (2,5). Uma segunda variável (X) é obtida através de Y, por meio da função G(Y) = 2Y – 1.

Portanto, a função de densidade probabilidade de X é:

Suponha que determinada característica de uma população, representada pela variável X, tem função de densidade dada por: ƒ_x(x) = θ . x^θ-1 para 0 < θ < 1.

Então o estimador do parâmetro θ através do Método dos Momentos e usando a média populacional é igual a:

Seja X variável aleatória com função de probabilidade dada por P (X=k) = p^k(1 - p)^1-k para k = 0 e 1, onde X = 1 está associado a um sucesso e X = 0 a um fracasso. Suponha que uma AAS, X₁,X₂, ...,X_n é extraída para estimar p.

Se o método usado é de Máxima Verossimilhança, o estimador é:

Sejam X₁, X₂ ..., X₅ variáveis aleatórias independentes, todas normalmente distribuídas com média zero e variância unitária.

Então, é correto afirmar que:

Suponha que o tempo de espera para a marcação de uma 1ª audiência nas varas de família de um tribunal seja uma variável aleatória que depende do número de novas ações, seguindo uma distribuição exponencial com média de 2,5 meses.

Então, trabalhando com e^-0,4 =2/3, a probabilidade de que uma 1ª audiência seja marcada para mais do que 2 meses depois é igual a aproximadamente:

Muitos argumentam que no Brasil as punições impostas pela justiça aos que têm menor poder aquisitivo é mais severa. Para avaliar a situação, um tribunal realizou um levantamento estatístico com base num lote de processos, coletando dados sobre a condição socioeconômica dos réus (alta ou baixa) e as respectivas penas (mais ou menos severas).

Dos 1.000 processos amostrados, em 40% os réus eram de nível socioeconômico mais alto, 30% eram de nível mais baixo e tinham penas mais severas, enquanto 25% tinham nível mais alto e tiveram penas menos severas.

Com tais informações, a respeito da diferença de tratamento, é correto afirmar que:

A distribuição de processos entre as diversas varas do TJ/AL é feita eletronicamente, de forma aleatória. A análise de um lote de 10 processos, que foram distribuídos entre quatro varas, revelou a seguinte distribuição empírica:

Considerando apenas essas quatro varas, a probabilidade a priori de que a distribuição apresentada se verificasse é igual a:

De um lote de 12 processos, três serão sorteados para fins de avaliação por parte do Conselho Nacional de Justiça (CNJ). Em cinco dos processos originais houve condenação do réu, e nos demais, absolvição.

Assim, a probabilidade de que a maior parte dos processos a serem sorteados seja de absolvições é igual a:

Seja X uma variável aleatória que representa a distância entre o ponto de um alvo circular atingido pelo lançamento de um dardo e o centro desse mesmo alvo.

Supondo que todos os pontos do círculo têm igual probabilidade de ser acertado e que o raio do alvo é igual a 4, sobre X é correto afirmar que:

Considere a variável aleatória contínua e bidimensional (X,Y), cuja função de densidade de probabilidade é dada por:

ƒ_x,y(x,y) = 8 . x . y para 0 < y < x < 1

e Zero caso contrário