Considere os itens abaixo sobre a matriz laplaciana na Teoria dos Grafos:
I. ___________: Matriz definida pela diferença entre a matriz de graus e a matriz de adjacência de um grafo. Essa matriz é utilizada para descrever várias propriedades do grafo, como conectividade e o cálculo de circuitos mínimos, sendo fundamental em aplicações que envolvem fluxo elétrico e análise de redes.
II. ___________: A matriz laplaciana tem várias propriedades importantes, sendo uma delas o fato de que o número de autovalores nulos dessa matriz é igual ao número de componentes conexos do grafo. Essa característica é amplamente utilizada na análise de sistemas elétricos e de comunicação, onde a conectividade de redes precisa ser monitorada.
Assinale a alternativa que preenche, correta e respectivamente, as lacunas dos itens:

Sejam as matrizes A = (a_ij)_2x3, tal que a_ij = 2i + 3j e a matriz B = (b_ij)_3x2, tal que b_ij = 2.i.j. Sabendo que a matriz C é igual ao produto A x B, determine a soma dos elementos de C.

Considere a matriz A dada a seguir.

Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a matriz B resultante da operação B = A − 3A^t.

Os sistemas lineares podem ser representados por uma equação matricial. Por exemplo, observe a equação



onde x, y e z são as variáveis e a é um número real. Indique o valor que a não pode assumir, para que o sistema acima seja possível e determinado:

Um sistema linear com três equações e três incógnitas é representado matricialmente da seguinte forma:

em que A = A_3x3 é a matriz dos coeficientes e b = b_3x1 é a matriz dos termos independentes. Após fazer alguns cálculos, Determinantilda classificou corretamente o sistema como possível e determinado e encontrou a solução: x = 2020, y = 2022, z = 2024.

Ao conferir o seu trabalho, ela constatou, contudo, que havia trocado os coeficientes de x e de y, erro que corrigiu permutando a primeira e a segunda linhas da matriz A. Além disso, ela percebeu que havia trocado de lugar a primeira e a segunda linhas de b e que havia trocado o sinal e errado a vírgula uma casa decimal para a esquerda de cada um dos elementos de b, erros que também corrigiu. Após corrigir todos os erros, Determinantilda representou o novo sistema por:

Sendo: Ã a matriz dos coeficientes e  a matriz dos termos independentes.

A respeito desse novo sistema, é CORRETO afirmar que sua solução é:

 A solução do sistema é:

Sejam V₁​,V_2​ e V_3​ vértices de um triângulo retângulo em V₁​. Suponha que seus catetos possuem medidas l. Considere (a_ij​)3×3​ uma matriz onde a_ij​ é a distância entre os vértices V_i​ e V_j​. O determinante de (a_ij​)3×3​ é:

Considere o sistema linear de duas incógnitas e duas equações dado por: 

Os valores de “a” para que o sistema seja possível e determinado são: 

Dados o subespaço W ={(x,y,z) */∈ ℜ³, x + z = 0 e x - 2y = 0}, determine um conjunto de geradores.  

Durante o desenvolvimento de um estudo, os envolvidos chegaram à conclusão de que a multiplicação das matrizes abaixo encontradas resultaria em uma nova matriz, cuja soma dos termos que a compõe seria o índice procurado, o objetivo desse estudo.

Qual das alternativas apresenta o resultado desse índice buscado?

As matrizes são representadas pela distribuição de seus elementos numéricos em linhas e colunas. Por exemplo, uma matriz dita 2x2 tem duas colunas e duas linhas. A tabela a seguir apresenta os valores dos elementos numéricos que formam uma matriz 3x3.



Qual das alternativas apresenta o determinante da matriz que é formada pelos elementos da tabela?

Qual é o valor do determinante do quadrado da matriz ?

Observe as afirmativas acerca do conjuntosolução de um dado sistema linear:

I - Há apenas uma solução possível para o sistema. O determinante principal do sistema deve ser diferente de 0.
II - Há infinitas soluções para o sistema. O determinante principal do sistema é igual a 0, assim como os determinantes secundários.
III - Não há soluções para o sistema. O determinante principal do sistema é igual a 0, e pelo menos um determinante secundário é diferente de 0.

Os seguintes sistemas: Sistema Possível e Determinado (SPD), Sistema Possível e Indeterminado (SPI) e Sistema Impossível (SI), podem ser classificados respectivamente pelas correspondências:

As operações de rotação e escala num espaço euclidiano bidimensional podem ser representadas por matrizes quadradas de ordem 2. As rotações em de um ponto (x, y) por um ângulo θ no sentido anti-horário em torno do eixo z (fora do plano) são dadas por:

Resultando em um ponto (x', y'). Já as escalas são dadas por: 

Duas operações sucessivas podem ser obtidas multiplicando-se as matrizes correspondentes. Indique o determinante da matriz resultante de uma rotação e depois de uma escala, conforme as matrizes acima: 

As condições para que o número k torne o sistema  possível e determinado são:

Seja a matriz  de ordem 2, em que  A quantidade de números reais x, tais que  que satisfazem a sentença 

Querendo organizar uma tabela que indique a quantidade de pessoas que moram e trabalham em duas cidades A e B, um administrador montou uma matriz Mij em que i representa a cidade onde a pessoa mora, e j representa a cidade em que ela trabalha. Se o índice 1 representa a cidade A, e o índice 2 a cidade B, a partir da matriz  é correto deduzir que

Qual é o ponto de interseção entre as retas p e t, representadas pelas equações a seguir?

▪ p: y = 4x - 6 e z = -x + 5

▪ t: y = -6x +14 e z = x + 1

Maria e João estão vendendo ingressos para um evento beneficente. Maria vendeu 3 ingressos para adulto e 4 ingressos para criança, arrecadando um total de R$170,00. João vendeu 5 ingressos para adulto e 2 ingressos para criança, arrecadando um total de R$210,00. Qual é o preço de cada um dos ingressos?

O valor de x em: