Questões de Concurso
Sobre funções de probabilidade p(x) e densidade f(x) em estatística
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Avalie se as afirmativas a seguir, relacionadas à estimação por máxima verossimilhança de um parâmetro θ, são falsas (F) ou verdadeiras (V).
( ) A função de verossimilhança de um conjunto de variáveis aleatórias é definida como a função de densidade (ou de probabilidade) conjunta dessas variáveis olhada como função de θ.
( ) Se X1, X2, ..., Xn é uma amostra aleatória simples de uma
densidade uniforme no intervalo (0, θ), o estimador de
máxima verossimilhança de θ é máx{Xi}, ou seja, é a n-ésima
estatística de ordem.
( ) Se X1, X2, ..., Xn é uma amostra aleatória simples de uma densidade N(µ, σ2 ), σ conhecida, o estimador de máxima verossimilhança de µ é a média amostral.
Na ordem apresentada, as afirmativas são, respectivamente,
X e Y são variáveis aleatórias discretas cm função de probabilidade conjunta dada por:
Assim, por exemplo, P[ X = 1; Y = 0] = 0,2.
X e Y são variáveis aleatórias contínuas tais que sua função de densidade de probabilidade conjunta é dada por
Foram simulados três valores de uma distribuição uniforme com o seguinte resultado: u1 = 0,66; u2 = 0,42; u3 = 0,18.
Dado que In(0,34) = −1,79; In(0,58) = −0,545; In(0,82) = −0,2 e utilizando as informações disponíveis, é possível gerar três valores da variável aleatória Y. A soma aproximada desses três valores gerados é
Se 10 indenizações são observadas, o valor esperado, em reais e desprezando-se os centavos, da segunda maior indenização é dado, em R$, por
Uma variável aleatória X tem a seguinte função de densidade:
Obs.: Se ln(a) é o logaritmo neperiano de a então: ln(0,50) = −0,69, ln(0,70) = −0,36, ln(0,80) = −0,22 e ln(0,72) = −0,33.
A estimativa encontrada para K, com base na amostra, foi de
A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X é dada por
Sendo K > 2, então a variância de X é igual a
Seja y variável aleatória contínua com distribuição uniforme no intervalo (2,5). Uma segunda variável (X) é obtida através de Y, por meio da função G(Y) = 2Y – 1.
Portanto, a função de densidade probabilidade de X é:
Suponha que determinada característica de uma população, representada pela variável X, tem função de densidade dada por: ƒx(x) = θ . xθ-1 para 0 < θ < 1.
Então o estimador do parâmetro θ através do Método dos Momentos e usando a média populacional é igual a:
Seja X uma variável aleatória que representa a distância entre o ponto de um alvo circular atingido pelo lançamento de um dardo e o centro desse mesmo alvo.
Supondo que todos os pontos do círculo têm igual probabilidade de ser acertado e que o raio do alvo é igual a 4, sobre X é correto afirmar que:
Seja X uma variável aleatória do tipo contínua com função de densidade de probabilidade dada por:
ƒx(x) = (2 -2x) para 0 < x < 1 e Zero caso contrário
Assim sendo, sobre as estatísticas de X tem-se que:
Sejam A, B e C três eventos de um mesmo espaço amostral de tal forma que (A ∪ B) ⊂ C e A ∩ B ≠ Ø .
Então, é correto afirmar que:
Seja X = (X1 X2 X3
)
t
, com função de densidade 
A densidade condicional de X1
dado X2
é
Seja X1 ,X2 ,...,X6 uma amostra aleatória independente e identicamente distribuída de tamanho 6, extraída de uma população com distribuição de densidade de probabilidade fX(x) = αxα-1, se 0< x <1 , α < ∞ e fX(x) =0, caso contrário.
O parâmetro α foi estimado pelo método dos momentos.
A amostra selecionada forneceu 
.
Assim, a estimativa para α é
A partir dessa situação hipotética, julgue o item subsequente, considerando que Φ(1) = 0,841, Φ(1,65) = 0,95, Φ(2) = 0,975 e Φ(2,5) = 0,994, em que Φ(z) é a função distribuição normal padronizada acumulada, e que 0,002 seja valor aproximado para 
A probabilidade de que um parafuso escolhido aleatoriamente
tenha comprimento fora das especificações técnicas é inferior
a 2,5%.
A quantidade diária de emails indesejados recebidos por um atendente é uma variável aleatória X que segue distribuição de Poisson com média e variância desconhecidas. Para estimá-las, retirou-se dessa distribuição uma amostra aleatória simples de tamanho quatro, cujos valores observados foram 10, 4, 2 e 4.
Com relação a essa situação hipotética, julgue o seguinte item.
Se P (X = 0) representa a probabilidade de esse atendente não
receber emails indesejados em determinado dia, estima-se que
tal probabilidade seja nula
Sabendo que as funções F(x) e G(x) são funções distribuição de probabilidade e considerando a escolha do consumidor em um ambiente de risco, julgue o item seguinte.
Se F(x) possui dominância estocástica de primeira ordem sobre
a função G(x), então qualquer possibilidade de retorno da
distribuição superior é maior que qualquer possibilidade de
retorno da distribuição inferior.
Se F(x) possui dominância estocástica de primeira ordem sobre G(x), então, no plano probabilidade-retorno, o gráfico de F estará sempre abaixo do gráfico de G.
Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade dada
por P(X = x) =
(1 - 
)x-1 para x = 1, 2, 3,..., onde p é um
parâmetro desconhecido. Dispondo de uma amostra de tamanho
n, x1, x2, x3,...., xn , o estimador de Máxima Verossimilhança de
p é:
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