Questões de Concurso Sobre funções de probabilidade p(x) e densidade f(x) em estatística

O responsável pelo planejamento de uma pesquisa acredita que, a priori, a probabilidade de que um indivíduo tenha uma determinada opinião, positiva, é de 80%. Para avaliar melhor essa crença, o responsável realiza um experimento no qual a opinião é positiva em 40% dos casos, quando o responsável julga a priori que não será assim; sendo positiva em 70% dos casos, quando ele prevê uma opinião positiva. No experimento, a opinião se mostrou positiva (ExpPos).

Portanto, a distribuição a posteriori, ou seja, após a realização do experimento, para a crença do responsável depois do experimento é:

A distribuição uniforme de uma variável aleatória X definida no intervalo com a ≤ x ≤ b tem como função densidade probabilidade:

A média dessa distribuição é:

O tempo para a tramitação de certo tipo de procedimento aberto pelo Ministério Público, em um dado instante, é uma variável aleatória com distribuição normal, tendo média igual de 10 meses e desvio-padrão de 3 meses. Um novo grupo de procuradores, recém-chegados à instituição, deve cuidar de alguns procedimentos, que serão sorteados dentre os que já têm mais de 7 meses de duração.

Sobre a função acumulada da normal são dados os valores:

Ø(1) = 0,80 , Ø(1,5) = 0,92 e Ø(2,0) = 0,98

Com tais informações, a probabilidade de que um procedimento com mais de 16 meses seja selecionado é igual a:

Seja (X ,Y) uma variável aleatória bidimensional contínua cuja função de densidade de probabilidade é dada por:

ƒ_x.y(x,y) = 8.x.y para 0 < y < x < 1 e

Zero caso contrário

Considerando essa informação, é correto afirmar que:

Sobre o Teorema de Neyman-Pearson, marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas.

( ) Um teste que satisfaz as condições do Teorema de Neyman-Pearson é um teste uniformemente mais poderoso de nível α.

( ) Para todo teste de hipóteses existe um teste uniformemente mais poderoso que pode ser encontrado a partir do Teorema de Neyman-Pearson.

( ) O Teorema de Neyman-Pearson pode ser utilizado com funções de densidade de probabilidade discretas e contínuas.

(Informações complementares: α = P[(X₁ ,…,X_n ) ∈ C|H₀ ], ou seja, C é a região melhor região crítica de tamanho a para testar as hipóteses simples H₀ : ϑ = ϑ' versus H₁ : ϑ = ϑ".)

A sequência está correta em

Seja f(x, y) uma função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y, sua função de densidade de probabilidade é:

Qual a probabilidade de P(X < Y)?

Calcule o valor de c para que f(x, y) seja uma função de densidade de probabilidade conjunta de X e Y.

Em seguida, calcule a função de densidade de probabilidade condicional de X dado Y = y, onde 0 < y < 3.

Afirma-se que:

I. O valor de c é 1/48.

II. A função de densidade de probabilidade condicional pedida é

Assinale a alternativa correta sobre as afirmativas I e II:

Suponha que a proporção do tempo gasto diariamente, relativamente ao tempo total diário de trabalho, para a realização das tarefas A e B, por funcionários de um órgão público, possa ser representada pela variável aleatória bidimensional (X,Y), sendo que X e Y representam tal proporção para a realização de A e B, respectivamente. Sabe-se que a função densidade de probabilidade de (X,Y) é dada por:
onde k é uma constante de modo a tornar essa função densidade de probabilidade.
A probabilidade de ambas as tarefas ocuparem no máximo 1/3 do trabalho diário dos funcionários é dada por

Um órgão público possui dois departamento A e B cujos funcionários, além da atividade habitual, também fazem atendimento ao público.
Considere as variáveis aleatórias X e Y que representam, respectivamente, a proporção do tempo gasto com atendimento ao público pelos funcionários de A e B. Suponha que a função densidade de probabilidade conjunta da variável bidimensional (X,Y) seja dada por:  , onde K é uma constante de modo a tornar essa função uma função densidade de probabilidade.
Nessas condições, a média da proporção do tempo de atendimento ao público dos funcionários do departamento B e a função densidade condicional de X dado que y = 1/3 (0 < x < 1) são dados, respectivamente, por 

 A partir de uma amostra aleatória correspondente a uma variável aleatória X uniformemente distribuída com função densidade f(x) = 1/b-a , (b > a), em (a, b), determinou-se pelo método dos momentos as estimativas pontuais dos parâmetros a e b, ou seja, a* e b*, respectivamente. Obteve-se então que (a*, b*) é igual a 
Dados da amostra: Tamanho: 10 Primeiro momento: 3,00 Segundo momento: 9,03

Um gráfico corresponde a um histograma apresentando a distribuição dos salários dos funcionários lotados em um determinado órgão público. No eixo das abscissas constam os intervalos de classe (fechados à esquerda e abertos à direita) dos salários em R$ e no eixo das ordenadas as respectivas densidades de frequências em (R$)⁻¹. Densidade de frequência de um intervalo é definida como sendo o resultado da divisão da respectiva frequência relativa pela correspondente amplitude do intervalo. Se 135 funcionários ganham salários com valores pertencentes ao intervalo [3.000, 6.000) com uma densidade de frequência de 1 × 10⁻⁴ (R$)⁻¹, então o número de funcionários que ganham salários com valores pertencentes ao intervalo [6.000, 8.000) com uma densidade de frequência de 2 × 10⁻⁴ (R$)⁻¹ é igual a

O fabricante de um produto eletrônico afirma que o seu produto funciona adequadamente pelo menos 4 anos. O estatístico responsável pelo setor de compras de um hospital obteve dados das várias empresas de assistência técnica e modelou o tempo de falha (tempo até falhar), t, do produto, segundo a distribuição de Weibull com função densidade de probabilidade com t, b, c ∈ R₊ e com parâmetro de forma c = 20 e de escala b = 7. Então, a probabilidade do fabricante estar correto é

O tempo entre as chegadas de pacientes em um guichê do serviço de atendimento médico é uma variável aleatória X que segue a distribuição exponencial com média de 4 minutos. Assim, o modelo da função densidade de probabilidade correspondente é

Para a variável aleatória contínua V, a função densidade de probabilidade é expressa por:

f(v) = 0,5exp(–0,5v), para v ≥ 0; e f(v) = 0, para v < 0.

Nesse caso, considerando-se 0,69 como valor aproximado para ln2,é correto afirmar que a mediana m da distribuição V é tal que

Para estimar, por máxima verossimilhança (MV) ou pelo método dos momentos (MM), o único parâmetro de dada distribuição de probabilidades, seleciona-se uma amostra de tamanho n.

A função densidade da distribuição é: 

f_x(x) = θx^θ-1 , para 0 < x < 1 e zero caso contrário.Além disso, considere:

Então, os estimadores de MV e de MM (com base na média da distribuição) para θ são, respectivamente: 

Suponha que uma amostra aleatória de tamanho n = 3 será extraída de uma população cuja variável a ser observada é X, tendo função de densidade teórica f_x(x) =2x para 0 < x < 1 e zero caso contrário. A extração é feita com a ajuda de uma tabela de números aleatórios, com valores convertidos aos valores amostrais de X através da transformação integral de Y = F_x(x),que é a função distribuição acumulada de X. Se os valores lidos na tabela de aleatórios forem 0,25, 0,49 e 0,81, a média amostral será igual a:

Seja X uma variável aleatória contínua e Y= G(X) uma função de X tal que, no domínio da f_x(x), densidade da X, as derivadas de 1ª e de 2ª ordem da G(X) são estritamente negativas. Considerando, 

f_y(y)= função densidade de probabilidade de Y;

f_x^-1(x) = função inversa da densidade de X;

= derivada de f(x) com respeito à x;

E(X) = esperança matemática de X;

h[f(X)] = função composta de f com h. 

Então é correto afirmar que: 

Considere a variável aleatória bidimensional (X,Y) cuja função de densidade conjunta é dada por:

f_x,y(x,y) = 3/4. y.x²,0 < x < 2 e 0 < y < 1 e zero caso contrário. Então: