O segmento AF, indicado na reta numérica abaixo, está dividido em 5 segmentos congruentes pelos pontos B, C, D e E, ou seja, AB = BC = CD = DE = EF. Os pontos B e F correspondem, respectivamente, aos números 9/8 e 273/104 .

Qual é o número que corresponde ao ponto A?

Um jovem parado num ponto A de um plano horizontal observa, com um teodolito (instrumento de medida de ângulos), o topo de um edifício sob um ângulo de 30°. Depois, ele caminha 30 metros em direção ao edifício, para num ponto B, faz uma nova observação, e dessa vez, obtém um ângulo de 45º. Então, ele continua a caminhada até chegar na entrada do edifício. Desprezando-se a altura do jovem, a distância por ele percorrida do ponto A até a entrada do edifício, é um valor, em metros (considere √3 = 1,73):

Em um plano cartesiano, os pontos A(0, 3), B(√3, 0) e C(x, 3) formam um triângulo retângulo em B. De acordo com essas informações, o valor de x é

 Define-se o erro da função f para o ponto (x, y) como sendo o valor f(x) − y| e o erro de f para o conjunto de pontos C como sendo a soma dos erros de f para todos os pontos de C. Entre as funções abaixo, qual possui o menor erro para o conjunto C  = {(0, 5), (1, 3), (2, −1)}? 

Considere a circunferência B, cuja equação no plano cartesiano é x ² + y ² - 8x + 10y + 21 = 0. Qual das equações abaixo descreve uma circunferência que tangencia B? 

Em julho de 2019, 04 (quatro) alunos do CMSM, medalhistas de ouro na OBMEP, viajaram à cidade de Salvador a convite da equipe organizadora da OBMEP, a fim de participarem da premiação. Para eternizar este momento, decidiram tirar uma fotografia no palco do auditório, posicionando-se todos alinhados.

O fotógrafo posicionou-se a 3 metros de distância, em frente à aluna localizada no ponto B (primeira linha), contudo, não conseguiu uma boa imagem. Pediu, então que se afastassem 1 metro (segunda linha), permanecendo todos alinhados.

Considere que:

a. o fotógrafo permaneceu na mesma posição (ponto A); e

b. as linhas formadas pelos medalhistas, na primeira e na segunda posição, são paralelas, conforme figura 15 abaixo:

De posse das informações acima, calcule a distância entre o fotógrafo e a aluna posicionada no ponto C' (segunda linha de alunos).

A figura seguinte apresenta os possíveis trajetos que um determinado aluno poderá percorrer de sua casa (ponto A) até o local onde será realizada a prova da 2a fase da OBMEP em 2019 (ponto B).

Sabe-se que as retas transversais aos segmentos AB e AC são retas paralelas entre si. O percurso escolhido pelo aluno para deslocar-se de casa até o local da prova foi todo ele sobre a reta r, do vértice A ao vértice B. De posse dessas informações, calcule a distância a ser percorrida pelo aluno de sua casa até o local da prova.

Durante a preparação para os jogos da amizade em 2019, o treinador de futebol do CMSM resolveu treinar passe com precisão. Ele posicionou um atleta próximo ao meio-campo (ponto P) e outros quatro atletas na extremidade do campo (pontos A, B, C e D), conforme figura 8 a seguir.

Sabe-se que:

a. a distância do atleta localizado no ponto P para o atleta posicionado no ponto A é de 30 m;

b. a distância do atleta localizado no ponto P para o atleta posicionado no ponto B ó de 40 m;

c. distância do atleta localizado no ponto P para o atleta posicionado no ponto C ó de 50 m; e

d. a figura ABCD é um retângulo, ou seja, todos os ângulos internos são iguais a 90° e seus lados opostos são paralelos entre si e iguais.

Da análise dos dados acima, calcule a distância do atleta localizado no ponto P para o atleta localizado no ponto D.

Considere as seguintes afirmações:
I. Sejam π₁, π₂ e π₃ três planos distintos, e secantes dois a dois segundo as retas distintas r, s e t. Se r ∩ s ≠ Ø então r ∩ s ∩ t ≠ Ø .
II. As projeções ortogonais de duas retas paralelas r e s sobre um plano π são duas retas paralelas.
III. Para quaisquer retas r, s e t reversas duas a duas, existe uma reta u paralela à r e concorrente com se com t.
É(são) VERDADEIRA(S)

Os pontos B = (1,1 + 6√2) e C = (1 + 6√2 ,1) são vértices do triângulo isosceles ABC de base BC, contido no primeiro quadrante. Se o raio da circunferência inscrita no triângulo mede 3, então as coordenadas do vértice A são

Os segmentos AE e BD interceptam-se no ponto C e os ângulos ˆB e ˆD são retos, como mostra a figura. Sendo AB // DE , a medida de AE é

Sejam A(−4, −2), B(1, 3) e M(a, b) pontos do plano cartesiano. Se M é ponto médio de AB, o valor de a + b é

O ponto da reta r : x + 3y − 10 = que está mais próximo da origem do sistema cartesiano é também exterior à circunferência λ: 2x² + 2y² + 4x - 12y + k - 4 = 0, com k ∈ Z
É correto afirmar que dentre os possíveis valores de k 

O plano &pi: − 4x − 3y + 6z = −24 intercepta os eixos cartesianos em três pontos A,B e C, onde A pertence ao eixo X, B pertence ao eixo Y e C pertence ao eixo Z. O resultado de será

Seja P(2,0,1) e a reta r: , a distância entre o ponto P e a reta r será de

Uma hipérbole é o conjunto de pontos no plano, cujo valor absoluto da diferença das distâncias a dois pontos fixos é uma constante. Os dois pontos fixos são denominados de focos.
Com base nessa informação, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas. I. Se 2&alpha for a constante e a hipérbole tiver como focos F₁(c , 0) e F2(−c , 0), então empregamos &alpha² = b² + c².
PORQUE
II. A fórmula da equação hipérbole com focos F1(c , 0) e F₂(-c , 0) será dada por
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.

No espaço há “x” retas paralelas distintas que são interceptadas por “y” retas paralelas distintas de tal maneira que determinam “z” paralelogramos distintos. Assinale a alternativa que apresente o valor correto de “z”.

Considere que para obter a posição de um navio, navegando em um canal, faz-se o uso de três retas. Essas retas são tomadas sob o olhar de três pontos notáveis e de três marcações angulares feitas por vigias no navio, sempre com o navio em movimento. As interseções dessas retas geram uma região triangular de área X e não acontecem em um único ponto. A região triangular é chamada de triângulo de incerteza e quanto menor o valor de X melhor é a precisão da marcação da posição do navio no canal. Suponha que depois de feitas as marcações as três retas obtidas tenham as equações r₁: 2x + y - 6 = 0, r₂: (1/2,1) + t (1/6,1), t ∈ ℜ, e r3: , λ ∈ ℜ. Sendo assim, assinale a opção que indica a área da região triangular X determinadas por r₁, r₂ e r₃.

Um círculo, contido no plano x - 2y + 4 = 0, de centro (4,4,4) e raio √5, é projetado ortogonalmente no plano y = 0, formando uma figura plana de área, em unidades de área, igual a:

Seja a curva determinada pelo lugar geométrico dos centros das circunferências no ℜ², que tangenciam a reta x = 2 e passam pelo ponto (6,4). Sendo assim, a reta tangente a essa curva pelo ponto (6,8) possui equação: