O atual campeão carioca de futebol, Botafogo, possui escudo baseado em um pentagrama, conforme figuras abaixo.

O pentagrama é um polígono estrelado de 5 vértices, que podem ser igualmente distribuídos em uma circunferência (formando cinco arcos congruentes). O pentagrama, através de seus segmentos, determina 6 regiões internas, 5 triângulos e 1 pentágono. O pentágono é vizinho de todos os triângulos e não existem triângulos vizinhos entre si.Sendo assim, utilizando até 6 cores distintas (preto, branco, cinza, verde, amarelo e azul), de quantas maneiras essas regiões do pentagrama, conforme Figura 2, podem ser coloridas, de forma que não haja duas regiões vizinhas com cores iguais?

Considere uma loja que vende cinco tipos de refrigerantes. De quantas formas diferentes podemos comprar três refrigerantes desta loja?

De quantas maneiras diferentes podemos escolher seis pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, de um grupo composto de sete homens e quatro mulheres?

Para formar uma comissão com quatro policiais militares, estarão à disposição cinco oficiais e quatro praças. Quantas comissões distintas poderão ser formadas, de maneira que, em cada uma delas, haja, pelo menos, um oficial?

Um museu tem 8 portas. Por todas elas, é possível que os visitantes entrem e saiam do museu. De quantas maneiras diferentes, um visitante pode entrar e sair do museu?

No ano de 2017, 22 alunos da EPCAR foram premiados na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP).

Desses alunos, 14 ganharam medalhas, sendo 3 alunos do 3° esquadrão, 9 do 2° esquadrão e 2 do 1° esquadrão. Os demais receberam menção honrosa, sendo 2 alunos do 3° esquadrão, 4 do 2° esquadrão e 2 do 1° esquadrão.

Para homenagear os alunos premiados, fez-se uma fotografia para ser publicada pela Nascentv em uma rede social.

Admitindo-se que, na fotografia, os alunos que receberam menção honrosa ficaram agachados, sempre numa única ordem, sem alteração de posição entre eles, à frente de uma fila na qual se posicionaram os alunos medalhistas, de modo que, nesta fila:

• as duas extremidades foram ocupadas somente por alunos do 2° esquadrão que receberam medalha;

• os alunos do 1° esquadrão, que receberam medalha, ficaram um ao lado do outro; e

• os alunos do 3° esquadrão, que receberam medalha, ficaram, também, um ao lado do outro.

Marque a alternativa que contém o número de fotografias distintas possíveis que poderiam ter sido feitas.

Placa do Mercosul: entenda como é o item que estará no seu carro até 2023
O que é e quem vai usar
    As novas placas do Mercosul são inspiradas no sistema integrado adotado já há vários anos pelos países da União Europeia. Elas serão aplicadas de maneira padronizada a aproximadamente 110 milhões de veículos.
Como será
    Os números e as letras poderão ser dispostos de maneira aleatória. Na Argentina, por exemplo, adotou-se um padrão “LL NNN LL” (sendo L para letras e N para números), a fim de se evitar formação de palavras. No caso do Brasil, o padrão inicial será “LLL NL NN” para carros e “LLL NN LN” para motos. O último dígito provavelmente continuará a ser sempre um número, em razão da aplicação do rodízio veicular na cidade de São Paulo (SP).
Disponível em: <https://carros.uol.com.br/noticias/redacao/2018/03/08/ placas-do-mercosul-entenda-o-que-e-item-que-estara-no-seu-carro-ate2023.htm>. Acesso em: 24 mar. 2018, com adaptações.
Considerando as informações apresentadas, quantas placas diferentes para carros poderão ser feitas iniciando-se com BRA?

O uniforme para atividades físicas de determinado batalhão é composto por tênis, camiseta e calção. Na última encomenda, foram solicitados tênis em 3 cores diferentes, camisetas em 4 cores diferentes e calções em 5 cores diferentes. Dois uniformes são considerados iguais quando tiverem os respectivos tênis, camisetas e calções na mesma cor.
Com base nessa situação hipotética, quantos uniformes diferentes podem ser montados para esse batalhão?

Para um grupo de rock, requerem-se 2 guitarristas, 1 vocalista, 1 baixista e 1 baterista. Estão disponíveis 5 guitarristas, 2 vocalistas, 4 baixistas e 1 baterista. Quanto ao número de grupos diferentes que se pode formar com os componentes disponíveis, assinale a alternativa correta.

Em uma banda, foram reservados 4 lugares do palco para 4 músicos: João, Carlos, Felipe e Mateus. Em cada lugar, estava o respectivo instrumento de cada músico: piano, violoncelo, flauta e baixo. A chance de se acertar, ao acaso, os lugares corretos dos músicos é uma em

Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6 e 7 posso escrever ____ números pares de quatro algarismos distintos.

Uma empresa irá premiar os 3 melhores vendedores do mês dentre seus 8 vendedores. Se o prêmio a ser sorteado é igual para os três, então o total de trios diferentes que poderão ser premiados, é:

O Corpo de Bombeiros de Minas Gerais recebeu 25 pedidos de avaliação da necessidade de corte de 25 árvores em diferentes bairros da capital. Sabe-se que esses pedidos eram oriundos de 5 regionais distintas, explicitadas na tabela a seguir.

Para otimizar o trabalho, os bombeiros envolvidos devem criar uma rota, em que todos os 25 pedidos devem ser atendidos. A rota constituída deve seguir estes critérios:

– os bombeiros só seguiriam para outra regional quando concluíssem o trabalho da regional que estavam atendendo, e assim por diante;

– em uma mesma regional, a ordem entre as árvores avaliadas poderia ser escolhida livremente;

– a ordem entre as regionais poderia ser escolhida livremente, para constituir a rota de atendimento.

Quantas rotas de atendimento diferentes podem ser elaboradas pelos bombeiros envolvidos?

Para fazer o cadastro em um site, o usuário deve escolher uma senha formada por 4 caracteres, sendo estes dois algarismos, escolhidos entre os 10 dígitos do sistema de numeração decimal, e duas letras, entre as 26 do alfabeto latino, em que não se diferencia maiúscula de minúscula. Os dois tipos de caracteres podem aparecer em qualquer posição, e não é permitido utilizar dois caracteres iguais na mesma senha.

Dessa forma, o número total de senhas que podem ser criadas é

Considerando o uso da análise combinatória, é correto afirmar que, no total, é possível formar com a palavra TOCANTINS

Ao enviar uma carta, é preciso preencher o envelope com alguns números, chamados de CEP (Código de Endereçamento Postal). 

Fonte:  Revista Recreio nº 903, 29/06/2017

Considere o número do CEP da carta ilustrada e observe que os três últimos algarismos depois do traço não aparecem.

Ao completar, depois do traço, com os algarismos 0.1,2,3, sem repetição, quantos números de CEP serão criados para a identificação individual de cada local do Distrito de Vila Nova Conceição? 

Na festa de formatura da turma do 9° ano do Ensino Fundamental, cada pessoa cumprimentou todas as outras pessoas uma única vez, com um aperto de mão. Ocorreram 1540 apertos de mão no total. Qual é o número de pessoas presentes na festa?

No Laboratório de Matemática (LABMAT) do Colégio Militar de Porto Alegre (CMPA), existe uma calculadora muito curiosa que, apesar de realizar as operações corretamente, apresenta letras no visor, correspondentes aos algarismos digitados. Para algarismos distintos, aparecem letras distintas Por exemplo, digitando o numero 7396, aparece no visor "CMPA". Nesta calculadora, subtraindo do "CMPA" o numero correspondente a "TDTL", encontra-se como resposta "BPCL". Nesta mesma calculadora, para que apareça ''LABMAT' no visor, deve-se digitar o numero 

No hospital onde Janaína trabalha, existem 40 apartamentos em cada um dos cinco andares. Cada apartamento é numerado e a numeração é composta de três algarismos: o primeiro indica o andar e os dois últimos indicam a ordem do apartamento no andar. Por exemplo, o apartamento de número 315 é o décimo quinto apartamento do terceiro andar. Quantas vezes foi utilizado o algarismo 2 para numerar todos os apartamentos desse hospital?

Considere três fios de nylon, conforme a Figura 1. Sete bolas são presas a esses três fios, de modo que cada fio “prende” 3 bolas e existe uma bola “no centro”, por onde passam os três fios, como mostrado na Figura 2. Existe mais de uma maneira de escrever os números 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, um em cada bola, de forma que seja mantida sempre a mesma regra: a soma dos números escritos nas bolas presas ao mesmo fio seja sempre a mesma. Uma dessas maneiras é mostrada na Figura 3.


Respeitada a regra e dispondo os números de outra maneira, qual das alternativas abaixo contém outro possível resultado para a soma das bolas presas ao mesmo fio?