Questões de Concurso
Sobre álgebra linear - equações lineares, espaço vetorial e transformações lineares e matrizes em matemática
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Considere o processo de média móvel de ordem, MA(1) escrito da forma:
Xt = θ0 + εt + θ1εt − 1 para t = 1,2,3,... e εt uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com E(εt ) = 0 e var(εt ) = σ2.
A média e a variância de Xt
são, respectivamente:
O coeficiente de correlação entre X1 e (X2,X3) é dado por
Seja um vetor 
cujas componentes são dadas, em
função de t, por 
O módulo desse vetor, quando está na posição vertical (sobre o eixo das ordenadas) é
Numa amostra de 30 pares de observações do tipo (xi , yi ), com i = 1, 2, ..., 30, a covariância obtida entre as variáveis X e Y foi -2. Os dados foram transformados linearmente da forma (zi , wi ) = (-3xi + 1 , 2yi + 3), para i = 1, 2, ..., 30.
Qual o valor da covariância entre as variáveis Z e W transformadas?
Considere a transformação linear T : ℝ4 → ℝ4 , definida por: T(x,y,z,w) = (x -y, y - z, z - w, w - x).
A dimensão da imagem de T é
Sejam X~N2
(μ,Σ), com μ=(2 -3)t
e 
A distribuição
de Y=AX, onde A=(-1 2), é:
Uma pesquisa de mercado, para uma amostra de 250 consumidores, foi realizada para avaliar a aceitação pelo consumidor de um novo AZEITE. Cada consumidor foi convidado a dar uma nota de 1 a 5 aos atributos do produto considerados importantes nessa avaliação, como: (1) sabor, (2) aroma, (3) cor, (4) textura, (5) utilidade, (6) facilidade de locais de compra e (7) embalagem.
Na Tabela, têm-se os autovalores da matriz de correlações amostrais.
Tabela: Autovalores da matriz de correlação amostral
Numa análise fatorial, a decisão do número de fatores pode ser pelo percentual de variação explicada obtido a partir dos autovalores.
Para se obter, neste caso, um percentual de variação explicada
acima de 90%, qual a quantidade mínima de fatores?
Considere a função f : ℝ3 → ℝ definida por
f(x,y,z) = x + y + z
e o conjunto U ⊂ ℝ3 dado por
U = {(x,y,z) | x2 + y2 = 2 e x + z = 1}.Sejam M e m os valores máximo e mínimo assumidos pela função f em U, respectivamente.
O produto M.m é
Seja T : ℝ3 → ℝ3 a transformação linear definida por
T(x,y,z) = (5x - 6y - 6z , - x + 4y + 2z , 3x - 6y - 4z).
A transformação linear T possui dois autovalores, λ1 e λ2
.
Sabe-se que 
= (3, -1,3) é um autovetor associado
a λ1 e que 
= (2,1,0) e 
= (2,0,1) são autovetores associados
a λ2
.
Considere a base 
e A3x3 =[T]β a matriz associada
a T, relativamente à base β.
A soma dos elementos da diagonal principal da matriz A3x3 é
Seja V um espaço vetorial de dimensão 8 e U1 e U2 subespaços vetoriais de V tais que V = U1 ⊕ U2 . Sabe-se que dim(U2 ) = dim(U1) + 4.
Sejam 
∈ U1 e 
∈ U2 , vetores não
nulos. Sabe-se que os vetores 
e 
são linearmente
dependentes.
A maior dimensão que o espaço vetorial gerado por esses 7 vetores pode ter é
A quantidade diária de veículos que passam por
determinado local é uma variável aleatória discreta W que se
distribui como 
, em que k ∈ {0, 1, 2, ...} e 0 < θ < 1.
Uma amostra aleatória simples W1, W2, ..., Wn foi retirada
da população W com o propósito de serem feitas inferências sobre
o parâmetro θ, a média populacional μ = E[W] e a variância
populacional σ2
= Var[W].
A partir dessas informações, julgue os seguintes itens, considerando 
A soma 
possui função de distribuição de
probabilidade expressa por 
, em
que s ∈ {0, 1, 2, ...} e 0 < θ < 1.
A quantidade diária de veículos que passam por
determinado local é uma variável aleatória discreta W que se
distribui como , em que k ∈ {0, 1, 2, ...} e 0 < θ < 1.
Uma amostra aleatória simples W1, W2, ..., Wn foi retirada
da população W com o propósito de serem feitas inferências sobre
o parâmetro θ, a média populacional μ = E[W] e a variância
populacional σ2
= Var[W].
A partir dessas informações, julgue os seguintes itens, considerando 
A média amostral 
é o estimador de máxima verossimilhança
da média µ.
Considerando que Zn representa o conjunto dos inteiros módulo n e que Mn representa o conjunto das matrizes quadradas n × n, cada um com as operações de adição e multiplicação usuais, julgue o item seguinte, a respeito da álgebra de corpos, anéis e grupos.
O anel Z2 é um corpo
Considerando as transformações lineares P: R3 → R2 e T: R2 → R3 , dadas, respectivamente, por P(x, y, z) = (x, y) e T(x, y) = (x, y, x + y), e considerando, ainda, que as matrizes associadas às transformações P e T nas bases canônicas sejam indicadas, respectivamente, por P e T, julgue o item que se segue.
As matrizes P × T e T × P são, ambas, quadradas e inversíveis.
Considerando as transformações lineares P: R3 → R2 e T: R2 → R3 , dadas, respectivamente, por P(x, y, z) = (x, y) e T(x,y) = (x,y, x + y), e considerando, ainda, que as matrizes associadas às transformações P e T nas bases canônicas sejam indicadas, respectivamente, por P e T, julgue o item que se segue.
A transformação linear composta P º T é uma bijeção de R2 em R2.
Considerando as transformações lineares P: R3 → R2 e T: R2 → R3 , dadas, respectivamente, por P(x, y, z) = (x,y) e T(x,y) = (x,y, x + y), e considerando, ainda, que as matrizes associadas às transformações P e T nas bases canônicas sejam indicadas, respectivamente, por P e T, julgue o item que se segue.
O núcleo da transformação linear composta T º P é gerado pelo
vetor e3 = (0, 0, 1), isto é, um vetor v = (x, y, z) está no núcleo
de T º P, se, e somente se, x = y = 0.
Considerando as transformações lineares P: R3 → R2 e T: R2 → R3 , dadas, respectivamente, por P(x, y, z) = (x, y) e T(x, y) = (x, y, x + y), e considerando, ainda, que as matrizes associadas às transformações P e T nas bases canônicas sejam indicadas, respectivamente, por P e T, julgue o item que se segue.
A imagem da transformação T é um subespaço vetorial de R3
com dimensão 2.
A respeito da autocorrelação dos erros de um modelo de regressão linear, julgue o item subsequente.
Na presença de autocorrelação de erros, o estimador mais
eficiente da regressão por mínimos quadrados ordinários
continua sendo BLUE (best linear unbiased estimator), ou
seja, melhor estimador linear não viesado.
A respeito da autocorrelação dos erros de um modelo de regressão linear, julgue o item subsequente.
Ocorre autocorrelação dos erros caso os erros da regressão
sigam um processo autorregressivo de ordem 1, ou seja, um
AR(1).
A respeito da autocorrelação dos erros de um modelo de regressão linear, julgue o item subsequente.
Como regra geral, a presença de autocorrelação dos erros é um
problema que não pode ser corrigido, de modo que a
modelagem por regressão deve ser abandonada quando
detectado esse problema.
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