Preencha as lacunas e assinale a alternativa correta.

Mostraremos que, se existir uma função f ∈ C² tal que satisfaz a equação de Laplace f  = 0 no disco unitário D ={(x,y) ∈ ²: x² + y² < 1} com a condição de bordo f (x,y) =  (x,y) para pontos (x,y) ∈ D, então tal função é única. De fato, suponha que f e g são duas soluções para a equação de Laplace com a condição de bordo descrita.

Mostraremos que devemos ter f (x,y) = g(x,y), para todo (x,y) ∈ D. Note que a função h(x,y) = f (x,y) − g (x,y) é de classe C² e que h = ________________, para todo ponto em D. Também temos que h (x,y) = 0, para todo (x,y) ∈ D.

Aplicando a identidade de Green, obtemos _D|h|² dA = −  _Dh hdA + hh., em que h denota o gradiente de h. Como h= 0 em D e h=0 emD, obtemos _D|h|² dA  = 0.

Sendo |h|² uma função não negativa, concluímos que h = . Como D é um conjunto __________________, concluímos que h deve ser __________________ em D. Uma vez que  h = 0 em D., segue que h é identicamente nula em D e que, portanto, f = g em D, como queríamos demonstrar.                    

f (x,y,z) = x +e^z . cos(y),

g (x,y,z) = y - z². sen(x),

h (x,y,z) = z - x² y² _. 

Seja S a superfície correspondente à fronteira da região sólida limitada pelo paraboloide z = 1 - x² -  y² e pelo plano z = 0, com orientação voltada para fora, assinale a alternativa que apresenta o valor correto de _s.  , o fluxo do campo  através de S.

Considere a curva parametrizada y:[-1,1] → ²  dada por y(t)=(t³−t²−t+1,t³- t).

Note que tal curva é fechada. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto da área delimitada pela curva y. 

Considere a função f: ³  →  dada por f (x, y, z) = x²y e a superfície S definida como S = {(x, y, z) ∈ ³  : x² + y² = 2, -1 ≤ z ≤1}. O valor da integral de superfície sf dS é igual a

Uma indústria está desenvolvendo um recipiente com formato diferenciado para otimizar o armazenamento de líquidos. O perfil lateral desse recipiente é descrito pela função abaixo:

Ao girar a região limitada por essa função, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 2, em torno do eixo x, obtém-se o sólido que representa o recipiente. O volume desse sólido pode ser calculado pela expressão abaixo:

Com base nessas informações, qual é o volume, em unidades cúbicas, desse recipiente?

Uma empresa de logística, visando reduzir custos operacionais e adotar práticas sustentáveis, decidiu instalar painéis solares no topo de seu galpão principal. O telhado do galpão, visto de frente, possui um perfil parabólico que pode ser descrito pela função:

onde y = f(x) é a altura em metros e x é a distância horizontal a partir do centro do galpão, com x variando no intervalo de [-10, 10]. Para a instalação dos painéis, os engenheiros precisam calcular o comprimento total da superfície curvada do telhado para determinar a metragem de trilhos de alumínio necessária. Sabe-se que o comprimento s de uma curva y = f(x) no intervalo [a, b] é dado pela integral:

onde f'(x) é a derivada da função f(x). Considerando as informações apresentadas, a expressão integral que permite calcular o comprimento total desse telhado é:

Dadas as afirmativas sobre propriedades da integral indefinida,

I. Se c é uma constante, ∫ cf (x)dx = c ∫ f(x) dx. 

II. ∫ (f(x) + g(x))dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx.

III. ∫ (f(x). g(x))dx = ∫ f(x)dx ∫ g(x)dx.

IV. ∫ (f(x))ⁿ dx = (f(x))^{n + 1}/ n + 1 + K, K, constante.

se associarmos às afirmativas V ou F, conforme elas sejam verdadeiras ou falsas, obteremos , de cima para baixo , a sequência

Considere a figura.

A figura é o gráfico de uma função polinomial de grau três. Qual o valor da área finita da região limitada pela curva e pelo eixo das abcissas?

A área delimitada por um arco da parábola y = x² e a reta y = 1 é rotacionada em torno do eixo y para formar um recipiente.

Determine o volume desse sólido. 

A distribuição exponencial com parâmetro λ descreve o tempo entre eventos em um processo de Poisson. Determine a esperança matemática E[X], utilizando a definição integral: E[X] = ∫₀^∞  xλe ^-λx dx.

O valor eficaz, ou RMS (Root Mean Square), de uma função periódica v(t), com período T, é definido matematicamente como a raiz quadrada da média do quadrado da função ao longo de um ciclo.

Considere o sinal de saída de um retificador de meia onda apresentado na figura, na qual a tensão é descrita por:

I. v (ω t) = V_m  sen (ω t) para 0 ≤ ω t ≤ π;

II. v (ω t) = 0 para π < ω t ≤ 2π.

Com base na figura e na aplicação do cálculo integral, assinale a alternativa correta que indica o valor de V_RMS em função da tensão de pico V_m.