Seja a função f : R → R  definida por f (x) = x² - 6x + 5, conforme gráfico a seguir:



Sobre a área formada pelo gráfico da função e o eixo das abscissas, no intervalo onde a função f possui imagem negativa, é correto afirmar que há 

A solução da integral  é:

As integrais que não possuem uma primitiva expressa por funções elementares são chamadas de integrais não elementares. São exemplos  usada em Estatística,  usada em Engenharia e usada em teoria dos números. Para calcular uma aproximação para  uma  alternativa seria expandir a função  em série de Taylor em torno de zero até uma determinada ordem e proceder à integração do polinômio resultante. Com isto em mente, qual seria o valor aproximado de  utilizando uma expansão do polinômio de Taylor de quarto grau?

Observação: É dada a fórmula da série de Taylor: 
 em que f(n) é a derivada de ordem n da função f.

Calcule a integral 

A área de uma figura plana em coordenadas polares (r, θ), para α  < θ < β, é dada por  Com isto em mente, calcule a área de uma pétala da rosa de três pétalas, definida por r = cos(3θ), como indica a figura:

Calcule  onde S é a região limitada entre a parábola  e a reta y = x.

Analise a seguinte cardioide:

O comprimento total dessa curva é dado por qual integral?

Analise as seguintes curvas:

A área (em unidades de área) da região limitada por essas duas curvas é:

onsiderando as funções reais e , analise as assertivas a seguir:

I. O domínio da função composta é o intervalo .

II. .

III. , onde é uma constante real.

Quais estão corretas?

 Um engenheiro ambiental está projetando o contorno de uma reserva ecológica em um mapa plano coordenado. A região da reserva está localizada no primeiro e quarto quadrante do plano cartesiano (x > 0) e é delimitada superiormente pela parábola de equação g(x) = -x² + 4x + 8 e inferiormente pelo gráfico da função cúbica f(x) = x³ - 4x² + x + r'. O limite lateral esquerdo da reserva coincide com o eixo das ordenadas (x = 0), e o limite lateral direito ocorre exatamente no ponto de interseção entre as duas curvas, em x = 4. Sabendo que as unidades de medida dos eixos estão em quilômetros, a área total dessa reserva ecológica, em quilômetro quadrado, é igual a: 

Determine a solução geral da equação diferencial, para x ≠ 0: 

Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pelas curvas:

y = 1/4 (13 - x²) e y = 1/2 (x+5) 

A organização dos conteúdos em Cálculo Diferencial e Integral nem sempre coincide com a evolução histórica de seus principais conceitos. Essa organização ocorre porque:

Em um projeto de arquitetura sustentável, um grupo de estudantes decidiu construir um painel decorativo em vidro para a entrada de uma escola técnica. O formato da borda superior do painel segue o gráfico da função:

f(x) = In(x),

enquanto a base do painel coincide com o eixo x.

Para fins de projeto, considera-se apenas a região delimitada pelo gráfico da função, pelo eixo x e pelas retas verticais x = 1 e x = e, conforme ilustrado no esboço.

O responsável pelo cálculo estrutural precisa determinar a área dessa região, pois ela corresponde exatamente à área do vidro que será utilizado no painel. Assim, qual é a área dessa região, em unidades de área?

Com base nos conceitos de integração aplicada à resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, assinale a alternativa que apresenta a solução geral da equação dy / dx = 4x

Sejam as curvas C₁: y = 16 - x⁴ e C₂: y = x⁴ - 5x² + 4.

Calcule a área da região compreendida entre C1 e C2 e assinale a opção correta.

A Lemniscata de Gerono corresponde à curva fechada cuja parametrização no plano pode ser dada por  y (t) = (cos(t),sen(t)cos(t)), para t  ∈ [0,2π]. Tal curva tem o formato que lembra o símbolo do infinito, e a região do plano delimitada por y corresponde a dois conjuntos abertos conexos. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto da área total da região delimitada por y . 

Considere o valor vetorial conservativo  (x,y) = (e^x + y², 2xy) cuja função potencial é dada por f (x,y) = e^x + xy². Assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor da integral de linha  .  sobre a curva parametrizada y (t) = (tcos(2πt), tsen (2πt)) com t ∈ [0,1].

Considere D  ² um domínio regular sem fronteira e F (x,y)=(P(x,y),Q(x,y))um campo de classe C¹. O Teorema de Green garante que 

                                                                       

Como corolário, podemos demonstrar a primeira identidade de Green, o qual afirma que, se F e g são funções reais de classe C¹ definidas em D, então 

                                                             

Nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta em quais campos se deve aplicar o Teorema de Green para obter a identidade anterior. 

Considere f uma função complexa holomorfa definida em conjunto aberto U e considere z₀ um ponto em U. 

Suponha que o disco D ={z∈ℂ:|z−z₀| ≤ r} está contido em U e seja y o círculo correspondente ao bordo de D  orientado no sentido anti-horário. A fórmula integral de Cauchy propõe que, nessas condições, há  dz. 

Nesse contexto, a respeito da fórmula da integralde Cauchy, assinale a alternativa INCORRETA.