Determine a solução geral da equação diferencial, para x ≠ 0: 

Em um projeto de arquitetura sustentável, um grupo de estudantes decidiu construir um painel decorativo em vidro para a entrada de uma escola técnica. O formato da borda superior do painel segue o gráfico da função:

f(x) = In(x),

enquanto a base do painel coincide com o eixo x.

Para fins de projeto, considera-se apenas a região delimitada pelo gráfico da função, pelo eixo x e pelas retas verticais x = 1 e x = e, conforme ilustrado no esboço.

O responsável pelo cálculo estrutural precisa determinar a área dessa região, pois ela corresponde exatamente à área do vidro que será utilizado no painel. Assim, qual é a área dessa região, em unidades de área?

Sejam as curvas C₁: y = 16 - x⁴ e C₂: y = x⁴ - 5x² + 4.

Calcule a área da região compreendida entre C1 e C2 e assinale a opção correta.

A Lemniscata de Gerono corresponde à curva fechada cuja parametrização no plano pode ser dada por  y (t) = (cos(t),sen(t)cos(t)), para t  ∈ [0,2π]. Tal curva tem o formato que lembra o símbolo do infinito, e a região do plano delimitada por y corresponde a dois conjuntos abertos conexos. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto da área total da região delimitada por y . 

Considere o valor vetorial conservativo  (x,y) = (e^x + y², 2xy) cuja função potencial é dada por f (x,y) = e^x + xy². Assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor da integral de linha  .  sobre a curva parametrizada y (t) = (tcos(2πt), tsen (2πt)) com t ∈ [0,1].

Considere D  ² um domínio regular sem fronteira e F (x,y)=(P(x,y),Q(x,y))um campo de classe C¹. O Teorema de Green garante que 

Como corolário, podemos demonstrar a primeira identidade de Green, o qual afirma que, se F e g são funções reais de classe C¹ definidas em D, então 

Nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta em quais campos se deve aplicar o Teorema de Green para obter a identidade anterior. 

Considere f uma função complexa holomorfa definida em conjunto aberto U e considere z₀ um ponto em U. 

Suponha que o disco D ={z∈ℂ:|z−z₀| ≤ r} está contido em U e seja y o círculo correspondente ao bordo de D  orientado no sentido anti-horário. A fórmula integral de Cauchy propõe que, nessas condições, há  dz. 

Nesse contexto, a respeito da fórmula da integralde Cauchy, assinale a alternativa INCORRETA.

Preencha as lacunas e assinale a alternativa correta.

Mostraremos que, se existir uma função f ∈ C² tal que satisfaz a equação de Laplace f  = 0 no disco unitário D ={(x,y) ∈ ²: x² + y² < 1} com a condição de bordo f (x,y) =  (x,y) para pontos (x,y) ∈ D, então tal função é única. De fato, suponha que f e g são duas soluções para a equação de Laplace com a condição de bordo descrita.

Mostraremos que devemos ter f (x,y) = g(x,y), para todo (x,y) ∈ D. Note que a função h(x,y) = f (x,y) − g (x,y) é de classe C² e que h = ________________, para todo ponto em D. Também temos que h (x,y) = 0, para todo (x,y) ∈ D.

Aplicando a identidade de Green, obtemos _D|h|² dA = −  _Dh hdA + hh., em que h denota o gradiente de h. Como h= 0 em D e h=0 emD, obtemos _D|h|² dA  = 0.

Sendo |h|² uma função não negativa, concluímos que h = . Como D é um conjunto __________________, concluímos que h deve ser __________________ em D. Uma vez que  h = 0 em D., segue que h é identicamente nula em D e que, portanto, f = g em D, como queríamos demonstrar.                    

f (x,y,z) = x +e^z . cos(y),

g (x,y,z) = y - z². sen(x),

h (x,y,z) = z - x² y² _. 

Seja S a superfície correspondente à fronteira da região sólida limitada pelo paraboloide z = 1 - x² -  y² e pelo plano z = 0, com orientação voltada para fora, assinale a alternativa que apresenta o valor correto de _s.  , o fluxo do campo  através de S.

Considere a curva parametrizada y:[-1,1] → ²  dada por y(t)=(t³−t²−t+1,t³- t).

Note que tal curva é fechada. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto da área delimitada pela curva y. 

Considere a função f: ³  →  dada por f (x, y, z) = x²y e a superfície S definida como S = {(x, y, z) ∈ ³  : x² + y² = 2, -1 ≤ z ≤1}. O valor da integral de superfície sf dS é igual a

Uma indústria está desenvolvendo um recipiente com formato diferenciado para otimizar o armazenamento de líquidos. O perfil lateral desse recipiente é descrito pela função abaixo:

Ao girar a região limitada por essa função, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 2, em torno do eixo x, obtém-se o sólido que representa o recipiente. O volume desse sólido pode ser calculado pela expressão abaixo:

Com base nessas informações, qual é o volume, em unidades cúbicas, desse recipiente?

Uma empresa de logística, visando reduzir custos operacionais e adotar práticas sustentáveis, decidiu instalar painéis solares no topo de seu galpão principal. O telhado do galpão, visto de frente, possui um perfil parabólico que pode ser descrito pela função:

onde y = f(x) é a altura em metros e x é a distância horizontal a partir do centro do galpão, com x variando no intervalo de [-10, 10]. Para a instalação dos painéis, os engenheiros precisam calcular o comprimento total da superfície curvada do telhado para determinar a metragem de trilhos de alumínio necessária. Sabe-se que o comprimento s de uma curva y = f(x) no intervalo [a, b] é dado pela integral:

onde f'(x) é a derivada da função f(x). Considerando as informações apresentadas, a expressão integral que permite calcular o comprimento total desse telhado é: