Uma empresa de logística, visando reduzir custos operacionais e adotar práticas sustentáveis, decidiu instalar painéis solares no topo de seu galpão principal. O telhado do galpão, visto de frente, possui um perfil parabólico que pode ser descrito pela função:

onde y = f(x) é a altura em metros e x é a distância horizontal a partir do centro do galpão, com x variando no intervalo de [-10, 10]. Para a instalação dos painéis, os engenheiros precisam calcular o comprimento total da superfície curvada do telhado para determinar a metragem de trilhos de alumínio necessária. Sabe-se que o comprimento s de uma curva y = f(x) no intervalo [a, b] é dado pela integral:

onde f'(x) é a derivada da função f(x). Considerando as informações apresentadas, a expressão integral que permite calcular o comprimento total desse telhado é:

Considere, conforme ilustra a figura abaixo, a área A da região delimitada pelos gráficos das funções quadráticas reais f(x) = 1 + 3(x − 1) 2 e g(x) = 4 − 3(x − 1) ² : Qual é o valor de A em unidades de área?

A primitiva F(x)  da função   onde   é:

Seja f a função real de variável real tal que

f(x) = −2x² + 2x + 12.

A área da região do primeiro quadrante que fica abaixo do gráfico de f e acima do eixo-x é

Dadas as afirmativas sobre propriedades da integral indefinida,

I. Se c é uma constante, ∫ cf (x)dx = c ∫ f(x) dx. 

II. ∫ (f(x) + g(x))dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx.

III. ∫ (f(x). g(x))dx = ∫ f(x)dx ∫ g(x)dx.

IV. ∫ (f(x))ⁿ dx = (f(x))^{n + 1}/ n + 1 + K, K, constante.

se associarmos às afirmativas V ou F, conforme elas sejam verdadeiras ou falsas, obteremos , de cima para baixo , a sequência

Considere a figura.

A figura é o gráfico de uma função polinomial de grau três. Qual o valor da área finita da região limitada pela curva e pelo eixo das abcissas?

A área delimitada por um arco da parábola y = x² e a reta y = 1 é rotacionada em torno do eixo y para formar um recipiente.

Determine o volume desse sólido. 

A distribuição exponencial com parâmetro λ descreve o tempo entre eventos em um processo de Poisson. Determine a esperança matemática E[X], utilizando a definição integral: E[X] = ∫₀^∞  xλe ^-λx dx.

O valor eficaz, ou RMS (Root Mean Square), de uma função periódica v(t), com período T, é definido matematicamente como a raiz quadrada da média do quadrado da função ao longo de um ciclo.

Considere o sinal de saída de um retificador de meia onda apresentado na figura, na qual a tensão é descrita por:

I. v (ω t) = V_m  sen (ω t) para 0 ≤ ω t ≤ π;

II. v (ω t) = 0 para π < ω t ≤ 2π.

Com base na figura e na aplicação do cálculo integral, assinale a alternativa correta que indica o valor de V_RMS em função da tensão de pico V_m. 

Considere a equação diferencial ordinária, para x > 0:

com condição inicial y(1) = 1 . Nesse caso, a solução y(x), para x > 0, é:

A história do desenvolvimento do cálculo diferencial e integral é marcada pela controvérsia de prioridade entre Newton e Leibniz. Contudo, do ponto de vista da "teoria das notações" e da fundamentação conceitual apresentada na obra, a vantagem competitiva da abordagem leibniziana residiu em: