Em um projeto de arquitetura sustentável, um grupo de estudantes decidiu construir um painel decorativo em vidro para a entrada de uma escola técnica. O formato da borda superior do painel segue o gráfico da função:

f(x) = In(x),

enquanto a base do painel coincide com o eixo x.

Para fins de projeto, considera-se apenas a região delimitada pelo gráfico da função, pelo eixo x e pelas retas verticais x = 1 e x = e, conforme ilustrado no esboço.

O responsável pelo cálculo estrutural precisa determinar a área dessa região, pois ela corresponde exatamente à área do vidro que será utilizado no painel. Assim, qual é a área dessa região, em unidades de área?

Sejam as curvas C₁: y = 16 - x⁴ e C₂: y = x⁴ - 5x² + 4.

Calcule a área da região compreendida entre C1 e C2 e assinale a opção correta.

A Lemniscata de Gerono corresponde à curva fechada cuja parametrização no plano pode ser dada por  y (t) = (cos(t),sen(t)cos(t)), para t  ∈ [0,2π]. Tal curva tem o formato que lembra o símbolo do infinito, e a região do plano delimitada por y corresponde a dois conjuntos abertos conexos. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto da área total da região delimitada por y . 

Considere o valor vetorial conservativo  (x,y) = (e^x + y², 2xy) cuja função potencial é dada por f (x,y) = e^x + xy². Assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor da integral de linha  .  sobre a curva parametrizada y (t) = (tcos(2πt), tsen (2πt)) com t ∈ [0,1].

Considere D  ² um domínio regular sem fronteira e F (x,y)=(P(x,y),Q(x,y))um campo de classe C¹. O Teorema de Green garante que 

Como corolário, podemos demonstrar a primeira identidade de Green, o qual afirma que, se F e g são funções reais de classe C¹ definidas em D, então 

Nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta em quais campos se deve aplicar o Teorema de Green para obter a identidade anterior. 

Considere f uma função complexa holomorfa definida em conjunto aberto U e considere z₀ um ponto em U. 

Suponha que o disco D ={z∈ℂ:|z−z₀| ≤ r} está contido em U e seja y o círculo correspondente ao bordo de D  orientado no sentido anti-horário. A fórmula integral de Cauchy propõe que, nessas condições, há  dz. 

Nesse contexto, a respeito da fórmula da integralde Cauchy, assinale a alternativa INCORRETA.

f (x,y,z) = x +e^z . cos(y),

g (x,y,z) = y - z². sen(x),

h (x,y,z) = z - x² y² _. 

Seja S a superfície correspondente à fronteira da região sólida limitada pelo paraboloide z = 1 - x² -  y² e pelo plano z = 0, com orientação voltada para fora, assinale a alternativa que apresenta o valor correto de _s.  , o fluxo do campo  através de S.

Considere a curva parametrizada y:[-1,1] → ²  dada por y(t)=(t³−t²−t+1,t³- t).

Note que tal curva é fechada. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto da área delimitada pela curva y. 

Considere a função f: ³  →  dada por f (x, y, z) = x²y e a superfície S definida como S = {(x, y, z) ∈ ³  : x² + y² = 2, -1 ≤ z ≤1}. O valor da integral de superfície sf dS é igual a

Uma indústria está desenvolvendo um recipiente com formato diferenciado para otimizar o armazenamento de líquidos. O perfil lateral desse recipiente é descrito pela função abaixo:

Ao girar a região limitada por essa função, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 2, em torno do eixo x, obtém-se o sólido que representa o recipiente. O volume desse sólido pode ser calculado pela expressão abaixo:

Com base nessas informações, qual é o volume, em unidades cúbicas, desse recipiente?

Uma empresa de logística, visando reduzir custos operacionais e adotar práticas sustentáveis, decidiu instalar painéis solares no topo de seu galpão principal. O telhado do galpão, visto de frente, possui um perfil parabólico que pode ser descrito pela função:

onde y = f(x) é a altura em metros e x é a distância horizontal a partir do centro do galpão, com x variando no intervalo de [-10, 10]. Para a instalação dos painéis, os engenheiros precisam calcular o comprimento total da superfície curvada do telhado para determinar a metragem de trilhos de alumínio necessária. Sabe-se que o comprimento s de uma curva y = f(x) no intervalo [a, b] é dado pela integral:

onde f'(x) é a derivada da função f(x). Considerando as informações apresentadas, a expressão integral que permite calcular o comprimento total desse telhado é:

Dadas as afirmativas sobre propriedades da integral indefinida,

I. Se c é uma constante, ∫ cf (x)dx = c ∫ f(x) dx. 

II. ∫ (f(x) + g(x))dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx.

III. ∫ (f(x). g(x))dx = ∫ f(x)dx ∫ g(x)dx.

IV. ∫ (f(x))ⁿ dx = (f(x))^{n + 1}/ n + 1 + K, K, constante.

se associarmos às afirmativas V ou F, conforme elas sejam verdadeiras ou falsas, obteremos , de cima para baixo , a sequência

Considere a figura.

A figura é o gráfico de uma função polinomial de grau três. Qual o valor da área finita da região limitada pela curva e pelo eixo das abcissas?