Considere R₁ a reta representada pela equação: 2y - x - 1 = 0 e o ponto P₁ dado pelo par ordenado (x,y) = (2,4), ambos no plano xy. Seja R₂ a reta perpendicular a R₁ passando pelo ponto P₁ .

O ponto P₂ , interseção entre as retas R₁ e R₂ , é representado pelo par ordenado (x,y) igual a

Um estagiário de engenharia recebeu a incumbência de resolver o seguinte problema: ele precisava achar uma posição para o ponto P (x,y), restrito ao primeiro quadrante do plano xy, conforme mostrado na Figura abaixo.

Trata-se de uma superfície plana e perfeitamente circular, com diâmetro de 100 metros. O problema consiste em achar a posição exata para o ponto P que garante a máxima área para o triângulo sombreado da Figura.

Após um estudo do problema, o estagiário encontrou a posição exata do ponto P, para o qual a área máxima do triângulo, em m² , é de

Considere as seguintes relações em IR² :

I) x² + y² ≤ 4

II) (x − 2)² + (x − 1)² ≥ 1

III) x + |y| ≥ 0

A região do plano delimitada pelas relações I, II e III é

Uma logomarca é formada por quatro semicircunferências, duas a duas concêntricas: c₁ e c₃, c₂ e c₄. As semicircunferências c₁ e c₂ têm raio R. A distância entre as semicircunferências concêntricas mede d.

Considere que o comprimento da semicircunferência c₁ é 3/2 π m e que a medida do segmento AB é 6,6 m.

A medida da área da região sombreada, em m² , é

A figura a seguir mostra uma circunferência no plano cartesiano com centro no ponto (3, 2) e um segmento AB perpendicular ao eixo X.


Se a abscissa de A é 4, o comprimento do segmento AB é de, aproximadamente,
Obs: use a aproximação que for necessária:

Considere a reta r de equação 2x + 3y + 7 = 0 e a reta s, perpendicular à reta r e que passa pelo ponto (1, 3).
A interseção da reta s com o eixo X é

O segmento de reta com extremidades no ponto P(5,0) e no centro da circunferência (x - 1)² + (y - 3)² = 4 intersecta a circunferência no ponto Q.
A distância de P até Q mede

Um cone oblíquo foi dividido na metade de sua altura por um plano paralelo à base, gerando outros dois sólidos, A e B, conforme a figura a seguir.


Com base nesse caso hipotético, assinale a alternativa que apresenta o valor da razão entre os volumes dos sólidos A e B, respectivamente.

A reta sen(θ)y – x – 6 = 0 é tangente à circunferência de centro em (3, 13) e raio √5 . Sabendo‐se que 0 ≤ θ < π/2 e 0 ≤ sen(θ) <0,75, é correto afirmar que θ vale

Miriam mora 10km ao norte e 6km a oeste de Afonso e Afonso mora 2km ao sul e 3km a leste de Paulo. Em relação a Miriam, Paulo mora

Faltando poucos segundos para terminar um jogo de basquete, um jogador fez um arremesso de certa distância da cesta do adversário. A trajetória da bola formou uma parábola descrita pela função f(x) = − 2/ 8 x² + 2x + 0,8

Qual a distância que o jogador estava da cesta no momento em que arremessou a bola?

Dados: despreze o espaço existente entre o aro e o poste da cesta; e use √4,8 = 2,2.

Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, as retas 3x   4y + 9 = 0 e 3x 4y 11 = 0 são tangentes a uma mesma circunferência. Nessa situação, o raio dessa circunferência é igual a

Em um plano cartesiano, observa-se o deslocamento de uma partícula, sobre uma circunferência centrada na origem (0;0), com velocidade angular constante de π/45 rad/ s . Tal partícula gasta 9 s para se mover do ponto Z para o ponto W, no sentido anti-horário. Considere que o ponto Z tem coordenadas cartesianas (60;25), ambas em m.

Assim, assumindo 0,8 como aproximação para cos 36°, as coordenadas do ponto W, ambas em m, são:

Considere uma reta r, de equação x + y = k, sendo k uma constante real, e uma circunferência λ, de equação x² + y² = 4, ambas representadas em um mesmo sistema de coordenadas retangulares. 

O menor valor real do parâmetro k, que faz a reta r intersectar a circunferência λ em apenas um ponto, é igual a 

Felipe, Márcia, Dóris e Fátima moram em uma pequena cidade plana onde há um obelisco. Felipe mora 2km ao norte e 3km a oeste do obelisco. Márcia mora 1km ao sul e 2km a leste do obelisco. Dóris mora 3km ao norte e 4km a leste do obelisco e Fátima mora 2km ao sul e 2km a oeste do obelisco.

Conclui-se que:

Um artista plástico resolveu fazer uma escultura de vidro com a base de madeira. A escultura tem um formato diferente, como apresentado na figura (I) abaixo. Desprezando a base de madeira e sabendo que o m² do vidro custa R$ 25,00(vinte e cinco reais), por quanto deve ser vendida a escultura para que o artista plástico tenha um lucro de 50%? 

Dados: a figura é formada pelos pontos:

A (3;1), B (9;6), C (5;9), D (2;3), E (4;3).

A parábola y = x² e a reta com coeficiente angular 5 que contém o ponto (0, -4) se intersectam nos pontos A e B .

A distância entre esses pontos está mais próxima de:

Uma câmara dos sussurros é um espaço em que, se duas pessoas estão nas posições especificadas como foco, elas podem falar entre si, mesmo sussurrando, a uma distância considerável. Isso porque os painéis colocados atrás delas são partes de uma mesma elipse cujos focos são as posições das cabeças das pessoas.

Na câmara de sussurros representada na Figura a seguir, a distância entre as duas pessoas é de 20 m, e a distância de cada pessoa até um vértice da elipse é de 2 m.

A equação da elipse que contém os painéis da câmara representada no sistema de eixos proposto na Figura é

Um sistema cartesiano de coordenadas (xy) foi disposto sobre um grande terreno plano. Nesse terreno, passam os trilhos da rede ferroviária, que foram modelados pela reta cuja equação é dada por 2x + y = 3. O ponto P(1,3) será utilizado como base de realização de uma importante medição, o que exigirá dos engenheiros a determinação de um ponto, sobre os trilhos, que esteja mais próximo do ponto P.

Qual é o ponto da reta 2x + y = 3 que está mais próximo do ponto P (1,3)?