Em um colégio, trabalham 56 professores, entre homens e mulheres. Sabendo que o número de homens é igual a 3/4 do número de mulheres, então a diferença entre o número de mulheres e o número de homens é

Uma empresa de ônibus trocou parte de sua frota por ônibus novos. Desse modo, a razão entre o número de ônibus novos e o número de ônibus usados agora é 1/4 .

Sabendo que o número de ônibus usados é 192, então, considerando-se todos os ônibus dessa frota, o número de ônibus novos corresponde a

Em um laboratório, um geólogo investiga a densidade de quatro tipos de materiais diferentes, inicialmente denominados X, Y, W e Z, coletados em campo. Eles estão distribuídos em camadas, não misturadas entre si, no interior de quatro tubos de mesma massa (quando vazios), numerados de 1 a 4, conforme ilustra a Figura a seguir.

Sobre os dados, sabe-se que: (i) m_k é a massa conjunta do tubo k com os materiais nele contidos, para 1 ≤ k ≤ 4; (ii) cada tubo vazio tem massa igual a m₀ ; (iii) as densidades dos materiais X, Y, W, e Z são, respectivamente, d_x , d_y , d_w e d_z ; (iv) os volumes de cada material, em cada um dos quatro tubos, estão representados pelo quadro a seguir.

Considere que esses dados foram organizados nas matrizes M, D e V, assim definidas:

Assim, o sistema de equações que modela matematicamente o problema, representado em sua forma matricial, é:

O sistema linear

Chama-se autovalor de uma matriz A ao número real x tal que a matriz (A – xI) não tem inversa, onde I é a matriz identidade. Qual a soma dos autovalores da matriz ?

Dona Maria comprou 1,5 kg de tomate e 2 kg de batata e pagou R$ 10,30. Sabendo que a diferença entre os preços dos quilos da batata e do tomate era de R$ 0,60, os preços do quilo do tomate e da batata foram, respectivamente: 

Carlos tem uma meta de valor a arrecadar com a venda de certo total de unidades de um produto. Se ele vender cada unidade do produto a R$ 20,00, ele supera a meta em R$ 300,00. Se ele vender cada unidade do produto a R$ 15,00, o valor arrecadado fica R$ 100,00 abaixo da meta. Para que a meta seja exatamente atingida, Carlos deverá vender cada unidade do produto pelo valor de

Seja um vetor cujas componentes são dadas, em função de t, por

O módulo desse vetor, quando está na posição vertical (sobre o eixo das ordenadas) é

Seja o sistema de equação linear:

Quantos são os valores do parâmetro a que levam o sistema a possuir infinitas soluções?

Em uma sala de aula, há 16 meninos e certo número de meninas. Se nessa sala tivesse um menino a menos e uma menina a mais, a razão entre o número de meninos e o número de meninas seria 3/ 4. Logo, o número total de alunos dessa sala é

Numa amostra de 30 pares de observações do tipo (x_i , y_i ), com i = 1, 2, ..., 30, a covariância obtida entre as variáveis X e Y foi -2. Os dados foram transformados linearmente da forma (z_i , w_i ) = (-3x_i + 1 , 2y_i + 3), para i = 1, 2, ..., 30.

Qual o valor da covariância entre as variáveis Z e W transformadas?

Valter participou de um treinamento e fez a prova final que tinha 20 perguntas. O critério de pontuação para cada questão era o seguinte:

• resposta correta: ganha 5 pontos;

• resposta errada ou sem resposta: perde 3 pontos.

Valter fez 52 pontos nessa prova.

O número de perguntas que Valter acertou foi:

Uma prova de um processo seletivo tem o número de questões e o tempo máximo de resolução previamente determinados. Cristiano, que fará a prova, concluiu que, se gastar exatamente 1 minuto e meio para resolver cada questão, irá terminar a prova 10 minutos antes do prazo máximo previsto. Entretanto, se gastar exatamente 2 minutos e 12 segundos para resolver cada questão, irá exceder em 18 minutos o prazo limite, o que não é permitido. Se o horário previsto para início da prova é 9h 45min, então o horário limite estipulado para a sua conclusão é

Beto precisava comprar um tipo específico de caderno. Fez um levantamento e encontrou três fornecedores diferentes para o produto procurado. Verificou que, usando totalmente a quantia de que dispunha para esse fim, seria possível comprar 3 unidades do fornecedor A, mais 2 unidades do fornecedor B, ou 7 unidades do fornecedor C, cujo preço unitário era de R$ 21,00. Sendo o preço unitário do fornecedor B menos o preço unitário do fornecedor A igual a R$ 11,00, é correto afirmar que o preço unitário do fornecedor A era igual a

Duas impressoras, A e B, imprimem juntas 1800 páginas em uma hora. Sabendo-se que a razão entre o número de páginas impressas pela impressora A e o número de páginas impressas pela impressora B, em uma hora, é 5/ 7, então o tempo necessário para que a impressora A imprima sozinha 2400 páginas é