Questões de Concurso
Sobre álgebra linear - equações lineares, espaço vetorial e transformações lineares e matrizes em matemática
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I. yi e xi representam, respectivamente, o tempo de reação a certo estímulo, em segundos, e a idade, em anos, do indivíduo i.
II. α e β representam os parâmetros desconhecidos do modelo.
III. εi representa o erro aleatório com as respectivas hipóteses para a regressão linear simples.
IV. As estimativas de α e β foram obtidas pelo método de mínimos quadrados por meio de 10 observações, utilizando-se as seguintes informações:
Nessas condições, a soma de quadrados residuais do modelo é igual a:
Considere um modelo de regressão linear simples em que, com os pares de observações (xi , yi), foram obtidos os
seguintes resultados: 
e, após o processo de estimação, 
Nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor da estatística do teste utilizado para decidir se o modelo a ser adotado é Y = μ + ∈ (μ: constante; E(∈) = 0; Var(∈) = σY2), ou Y = β0 + β1x + ∈ (β0 ,β1 e x: constantes; ∈ ~N(0; σ2 )).
Um pesquisador deseja criar um padrão para identificar a presença de infecção bacteriana no trato respiratório através de cultura de escarro. Desse modo, foram coletados dados de pessoas sabidamente sadias e determinou-se o número de colônias encontradas em cada cultura. Os resultados encontrados foram sumarizados como segue:
Toda medida laboratorial é analisada confrontando-se seu valor com uma faixa de referência. O procedimento de
definição de faixa de referência baseia-se na hipótese de que as populações de pessoas sadias e as de pessoas
doentes produzem, para determinada medida, valores que flutuam em torno de médias diferentes, gerando curvas com
pequena interseção. A maneira mais utilizada para obter a faixa de referência é baseada na Curva de Gauss. No caso
sob exame, qual é a faixa aproximada de normalidade de 95%, para o número de colônias de bactérias no trato
respiratório de pessoas sadias, usando o método da Curva de Gauss?
estação X Y
1 200 20
2 600 15
3 800 10
4 1.400 5
5 2.000 0
A tabela acima mostra os resultados da temperatura, Y, em graus Celsius, obtidos a partir de um estudo realizado por um meteorologista em cinco diferentes estações, situadas em altitudes diferentes, X, em metros. As medições foram feitas no mesmo horário e no mesmo dia, e os dados da tabela satisfazem as relações a seguir.
O valor absoluto do terceiro resíduo é 2,2.
estação X Y
1 200 20
2 600 15
3 800 10
4 1.400 5
5 2.000 0
A tabela acima mostra os resultados da temperatura, Y, em graus Celsius, obtidos a partir de um estudo realizado por um meteorologista em cinco diferentes estações, situadas em altitudes diferentes, X, em metros. As medições foram feitas no mesmo horário e no mesmo dia, e os dados da tabela satisfazem as relações a seguir.
Os estimadores de mínimos quadrados para a e b são â = 21 e
= -0,011.estação X Y
1 200 20
2 600 15
3 800 10
4 1.400 5
5 2.000 0
A tabela acima mostra os resultados da temperatura, Y, em graus Celsius, obtidos a partir de um estudo realizado por um meteorologista em cinco diferentes estações, situadas em altitudes diferentes, X, em metros. As medições foram feitas no mesmo horário e no mesmo dia, e os dados da tabela satisfazem as relações a seguir.
As equações a seguir, com n = 5, são as equações normais do modelo. an + b
estação X Y
1 200 20
2 600 15
3 800 10
4 1.400 5
5 2.000 0
A tabela acima mostra os resultados da temperatura, Y, em graus Celsius, obtidos a partir de um estudo realizado por um meteorologista em cinco diferentes estações, situadas em altitudes diferentes, X, em metros. As medições foram feitas no mesmo horário e no mesmo dia, e os dados da tabela satisfazem as relações a seguir.
Nesse modelo, se ε for uma variável aleatória com valor esperado zero e variância constante, os parâmetros a e b serão denominados, respectivamente, inclinação e intercepto.
estação X Y
1 200 20
2 600 15
3 800 10
4 1.400 5
5 2.000 0
A tabela acima mostra os resultados da temperatura, Y, em graus Celsius, obtidos a partir de um estudo realizado por um meteorologista em cinco diferentes estações, situadas em altitudes diferentes, X, em metros. As medições foram feitas no mesmo horário e no mesmo dia, e os dados da tabela satisfazem as relações a seguir.
Os estimadores de mínimos quadrados para os parâmetros a e b são não viciados.
Julgue o item seguinte, relativo à violação das suposições básicas dos modelos clássicos de regressão.
Uma vez detectada a presença de heterocedasticidade, é
possível estimar o modelo por mínimos quadrados
generalizados (MQG) para corrigir ou minimizar o problema,
de tal forma que os estimadores de MQG sejam melhores que
os estimadores de MQO.
A respeito do método de estimação por MQO, julgue o item que se segue.
A estatística R2
é utilizada como critério de seleção para
diferentes formas funcionais de estimação de uma variável
dependente yt
, podendo-se, por exemplo, mediante essa
estatística, comparar o desempenho do modelo yt
= a + βxt
+ ut com o desempenho do modelo lnyt
= a + βlnxt
+ ut
, em que xt
é a variável independente e ut
é uma variável aleatória de média
igual a zero.
A respeito do método de estimação por MQO, julgue o item que se segue.
Um elevado valor da estatística R2 em um modelo de regressão linear simples com uma variável independente x e uma variável dependente y implica, necessariamente, causalidade entre y e x.
Acerca das propriedades dos estimadores de MQO em regressão linear simples, julgue o item subsequente.
Para o coeficiente angular β, o estimador de MQO 
apresenta uma componente não aleatória, β, e outra componente
aleatória, a qual depende da covariância Cov(xt
, ut
), tal que 
em que ut
é o resíduo da regressão e Var(xt
) é a variância da variável independente xt
do modelo de
regressão.
Acerca das propriedades dos estimadores de MQO em regressão linear simples, julgue o item subsequente.
Se E(u | x) > 0, em que u é o resíduo e x é a variável explicativa
de um modelo de regressão linear simples, então as estimativas
de MQO serão viesadas.
Considerando que o modelo de regressão por mínimos quadrados ordinários (MQO) seja dado por 
, em que 
é o valor estimado pelo modelo para a variável dependente yt , xt , é a variável independente e â e 
são, respectivamente, os estimadores dos coeficientes linear a e angular β de um modelo de regressão linear simples, julgue o item a seguir.
Na regressão pela origem 
, em que â = 0, 
é um estimador não viesado de β.
Considerando que o modelo de regressão por mínimos quadrados ordinários (MQO) seja dado por 
, em que 
é o valor estimado pelo modelo para a variável dependente yt , xt , é a variável independente e â e 
são, respectivamente, os estimadores dos coeficientes linear a e angular β de um modelo de regressão linear simples, julgue o item a seguir.
O estimador 
pode ser escrito da seguinte forma: 
em que Var(xt
) é a variância de xt e Cov(xt
,yt
) é a covariância de xt
e yt
.
Considerando que o modelo de regressão por mínimos quadrados
ordinários (MQO) seja dado por 
, em que 
é o valor estimado pelo modelo para a variável dependente yt
, xt
, é a variável
independente e â e 
são, respectivamente, os estimadores dos coeficientes linear a e angular β de um modelo de regressão linear
simples, julgue o item a seguir.
Ao se multiplicar a variável dependente por uma constante c
qualquer, as estimativas de MQO são multiplicadas por c, isto
é, â e 
são multiplicados por c.
é uma reflexão ortogonal, que deixa fixo um plano que passa pela origem, então os autovalores de T são: 
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