Um agricultor desconfia que a variabilidade da quantidade total de leite produzida diariamente por suas vacas foi alterada após ele mudar a ração que utilizava para alimentar os animais de sua fazenda. Considere que X é uma variável aleatória que representa a quantidade de leite produzida diariamente pelas vacas desse agricultor. Ele coletou uma amostra aleatória simples de tamanho 50 durante certo período de tempo e através dessa amostra ele descobriu que X segue uma distribuição normal com média de 300 litros de leite por dia e desvio-padrão 10.

(Informações adicionais: X² a,gl : α = área à esquerda do valor crítico e gl = graus de liberdade.)

Assinale a alternativa que apresenta um intervalo com 95% de confiança para o desvio-padrão populacional.

Um teste de hipótese será realizado para testar a duração do efeito de um medicamento que foi recentemente modificado em um laboratório. O tempo de duração do efeito do medicamento é uma variável aleatória que segue uma distribuição Normal com média de 20 horas e desvio-padrão de 5 horas, mas desconfia-se que o tempo de duração do efeito tenha ficado menor após a modificação do medicamento. As hipóteses são:

• H₀ : μ = 20 horas; e,

• H₁ : μ < 20 horas.

Considerando que não houve alteração na variância e a = 0.05, qual deveria ser o tamanho mínimo da amostra para detectar, com 90% de probabilidade, que a média real é 15 horas?

(Informações adicionais: z_0.01 = –2.32 z_0.025 = –1.96 z_0.05 = –1.64 z_0.1 = –1.28.)

O tempo gasto por uma impressora para imprimir uma página é uma variável aleatória que segue uma distribuição Normal com média de 10 segundos e desvio-padrão de 3 segundos. Após um problema técnico, foi coletada uma amostra aleatória de 36 impressões para averiguar se houve um aumento no tempo gasto para realizar a impressão. Considere que a variância se manteve a mesma e, ainda, 2% de significância. Calcule o poder do teste se a verdadeira média de tempo é 12 segundos.

(Informações adicionais: z_0.01 = –2.32 z_0.02 = –2.05 z_0.03 = –1.88 z_0.04 = –1.75 z_0.05 = –1.64.)

A função geradora de momentos M_X(t) de uma variável aleatória X é definida para todos os valores reais de t como M_X(t) = E[e^tX]. Selecione a função geradora de momentos de uma variável aleatória X que possui distribuição Normal com média μ e desvio-padrão σ.

Uma população P de tamanho infinito tem distribuição normal com média μ e variância 2,25. A fim de proceder ao teste H_₀: μ = 10 (hipótese nula) contra H_₁: μ ≠ 10 (hipótese alternativa), ao nível de significância de 5%, extrai-se de P uma amostra aleatória de tamanho 100, estabelecendo-se a seguinte regra: “dado que é a média da amostra, então rejeita-se H_₀ se < 10 − K ou > 10 + K, em que K > 0”. Considerando que na curva normal padrão (Z) as probabilidades P(|Z| > 1,96) = 0,05 e P(|Z| > 1,64) = 0,10, obtém-se que o valor de K é

Uma amostra aleatória de tamanho 64 é extraída de uma população de tamanho infinito, normalmente distribuída, média μ e variância conhecida σ². Obtiveram-se com base nos dados desta amostra, além de uma determinada média amostral x , 2 intervalos de confiança para μ aos níveis de 95% e 99%, sendo os limites superiores destes intervalos iguais a 20,98 e 21,29, respectivamente. Considerando que na curva normal padrão (Z) as probabilidades P(|Z| > 1,96) = 0,05 e P(|Z| > 2,58) = 0,01, encontra-se que σ² é igual a

Sejam X_₁ e X_₂ duas variáveis aleatórias independentes, ambas com média μ e variância 25. Como μ é desconhecida construiuse um estimador T para μ, sendo m e n parâmetros reais, ou seja: T = (m − 1)X_₁ − nX_₂. Considerando que T caracteriza uma classe de estimadores não viesados de μ, então o estimador desta classe mais eficiente verifica-se quando m for igual a

O conjunto {X_₁, X_₂, X_₃, ... , X_₁₀ } refere-se a uma população de tamanho 10 de elementos estritamente positivos, em que

Observação: log(N) é o logaritmo de N na base 10. Considere as seguintes afirmações com relação a esta população: I. O coeficiente de variação é igual a 1/7. II. A média geométrica é igual a raiz quadrada de 10^9,185. III. Multiplicando todos os elementos da população por 2, o coeficiente de variação da nova população formada não se altera. IV. Dividindo todos os elementos da população por 2, a variância da nova população formada é igual a 25% da variância anterior.
Está correto o que se afirma APENAS em 

Uma variável aleatória X bidimensional tem matriz de covariâncias dada por:
O auto vetor normalizado correspondente à primeira componente principal da matriz Σ é dado por:

Atenção: O enunciado abaixo refere-se à questão.
A porcentagem do orçamento gasto com educação nos municípios de certo estado é uma variável aleatória X com distribuição normal com média μ(%) e variância 4(%)². 
Um gasto em educação superior a 10% tem probabilidade de 4%. Nessas condições, o valor de μ é igual a 

Sobre o procedimento para testar a hipótese H₀ : α₁ = α₂ = 0, pode-se afirmar CORRETAMENTE o seguinte:

O coeficiente de determinação do modelo estimado será aproximadamente:

O pesquisador deseja obter uma estimativa da variação percentual no consumo decorrente do aumento de 1% na renda e da redução de 2% no preço. A variância dessa estimativa é dada por:

Considere duas variáveis aleatórias X e Y. São dados: E [X] = 35, E [Y] = 55, V [X] = 3, V [Y] = 18 e Cov [X, Y] = 5, onde E [ ] indica a média, V [ ] a variância e Cov [ , ] a covariância. Assinale a opção que expressa a variância da soma X + Y.

O desvio absoluto do número de filhos dos funcionários da amostra é, aproximadamente:

Representa o desvio-padrão populacional de uma série de dados:

Em uma regressão linear múltipla com 5 variáveis independentes, 30 casos e intercepto, o coeficiente de determinação resultou em 25%. Nesse caso, o coeficiente de determinação ajustado equivale a aproximadamente:

Avalie a tabela a seguir. Três tipos de materiais são pesados diversas vezes. Assinale a alternativa correta que os elenque do menor para o maior quanto à menor dispersão.