Qual é a probabilidade de ao se lançar uma moeda e um dado simultaneamente termos como resultado Cara na moeda e um número menor que três no dado?

A função geradora de momentos M_X(t) de uma variável aleatória discreta X é M_X(t) = (0.25e^t + 0.75)³ . Calcule a variância da variável aleatória X. 

Sobre o Teorema de Neyman-Pearson, marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas.

( ) Um teste que satisfaz as condições do Teorema de Neyman-Pearson é um teste uniformemente mais poderoso de nível α.

( ) Para todo teste de hipóteses existe um teste uniformemente mais poderoso que pode ser encontrado a partir do Teorema de Neyman-Pearson.

( ) O Teorema de Neyman-Pearson pode ser utilizado com funções de densidade de probabilidade discretas e contínuas.

(Informações complementares: α = P[(X₁ ,…,X_n ) ∈ C|H₀ ], ou seja, C é a região melhor região crítica de tamanho a para testar as hipóteses simples H₀ : ϑ = ϑ' versus H₁ : ϑ = ϑ".)

A sequência está correta em

Sobre propriedades dos estimadores, assinale a alternativa correta.

Considerando o método de estimação conhecido como Método dos Momentos, assinale a afirmativa INCORRETA.

Todos os anos uma pequena escola particular aplica uma prova para selecionar novos estudantes bolsistas. O número de alunos inscritos é uma variável aleatória de Poisson com média 100. A direção avaliou a capacidade das salas da escola e decidiu que se a quantidade de candidatos inscritos este ano for maior ou igual a 117, eles irão alocar um novo espaço para a aplicação das provas. Mas se a quantidade de candidatos inscritos for menor que 117, todas as provas poderão ser aplicadas na escola.

(Informações adicionais: usar correção de continuidade no TCL. z_α = c : α é a área a esquerda do valor crítico c. z_0.05 = –1.64 z_0.1 = –1.96.)

Qual a probabilidade da escola não ter que arcar com a despesa de alugar um espaço extra para a aplicação das provas?

Seja f(x, y) uma função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y, sua função de densidade de probabilidade é:

Qual a probabilidade de P(X < Y)?

Seja F_X a função de distribuição cumulativa da variável aleatória X e F_Y a função de distribuição cumulativa da variável aleatória Y. Sobre as propriedades da função de distribuição cumulativa, analise as afirmativas a seguir.

I. F_X é contínua à direita.

II. F_X é não decrescente, isto é, F_X(a) ≤ F_X(b) sempre que a < b, ∀ a,b, ∈ |R.

III. lim_{x→ – ∞} F_X (x) = 0 e lim_{x→ ∞} F_X (x) = 1.

IV. Se g(x) = y, então F_Y(y) = F_X(g^–1 (y)).

Estão corretas as afirmativas

Se x é uma variável aleatória contínua, então f_x(x) pode ser da forma:

Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)

Calcule o valor de c para que f(x, y) seja uma função de densidade de probabilidade conjunta de X e Y.

Em seguida, calcule a função de densidade de probabilidade condicional de X dado Y = y, onde 0 < y < 3.

Afirma-se que:

I. O valor de c é 1/48.

II. A função de densidade de probabilidade condicional pedida é

Assinale a alternativa correta sobre as afirmativas I e II:

Uma fábrica de chocolates comprou uma nova máquina para testar a qualidade de seus produtos. Essa nova máquina detecta as barras de chocolate que estão com o peso fora da faixa de pesos aceitáveis pelo padrão de qualidade da empresa em 90% dos casos. A máquina faz uma marca na embalagem para que o produto seja recolhido e não seja vendido com os demais. Entretanto, essa mesma máquina marca erroneamente 0.5% das barras de chocolate que estão dentro da faixa de peso aceitável (“falso positivo”). Considere que 1% das barras de chocolate produzidas pela empresa estão fora da faixa de peso aceitável pelo controle de qualidade da empresa. Qual a probabilidade de uma barra de chocolate estar de fato fora do peso aceitável pelo padrão de qualidade dado que a máquina marcou/detectou?

Em certo jogo de tabuleiro todos os jogadores ganham um bônus na rodada se eles obtiverem dois números 6 em um dado. Os lançamentos do dado são sequenciais, independentes e possuem um limite de 4 lançamentos do dado por rodada. Por exemplo, se o primeiro lançamento for o número 6, o segundo for o número 4 e o terceiro for outro número 6, os jogadores ganham o bônus e não precisam lançar o dado novamente. Mas se o primeiro lançamento for o número 2, o segundo um 3, o terceiro um 6 e o quarto outro 3, eles param os lançamentos e não ganham o bônus da rodada. Cada rodada é independente dos resultados obtidos nas rodadas anteriores. Considerando que o dado é honesto, qual a probabilidade do primeiro bônus do jogo sair na 3ª rodada?

Um candidato a prefeito de uma cidade afirma que pelo menos 50% dos eleitores da cidade apóiam sua candidatura. Chamando de p a proporção de eleitores que apóia o candidato, resolveu-se fazer um teste para verificar se o candidato tem razão, ao nível de significância de 5%, em que foram formuladas as hipóteses H_₀: p ≥ 0,5 (hipótese nula) contra H_₁: p < 0,5 (hipótese alternativa). Então, uma amostra aleatória de tamanho 64 é extraída, com reposição, da população de eleitores e verifica-se que uma proporção p* dos eleitores apóia o candidato. Considere que é normal a distribuição amostral da frequência relativa dos eleitores que apóiam o candidato e que na curva normal padrão (Z) as probabilidades P(|Z| > 1,96) = 0,05 e P(|Z| > 1,64) = 0,10. O menor valor para p* tal que não ocorra o erro tipo I é

Sejam X_₁ e X_₂ duas variáveis aleatórias independentes, ambas com média μ e variância 25. Como μ é desconhecida construiuse um estimador T para μ, sendo m e n parâmetros reais, ou seja: T = (m − 1)X_₁ − nX_₂. Considerando que T caracteriza uma classe de estimadores não viesados de μ, então o estimador desta classe mais eficiente verifica-se quando m for igual a

Suponha que a proporção do tempo gasto diariamente, relativamente ao tempo total diário de trabalho, para a realização das tarefas A e B, por funcionários de um órgão público, possa ser representada pela variável aleatória bidimensional (X,Y), sendo que X e Y representam tal proporção para a realização de A e B, respectivamente. Sabe-se que a função densidade de probabilidade de (X,Y) é dada por:
onde k é uma constante de modo a tornar essa função densidade de probabilidade.
A probabilidade de ambas as tarefas ocuparem no máximo 1/3 do trabalho diário dos funcionários é dada por

A variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme no intervalo [k, b − k]. Sabe-se que a média de X é 10 e que P(X > 16) = 0,125. Nessas condições, a variância de X é igual a

Atenção: Considere o enunciado abaixo para responder à questão.
  Um determinado órgão público recebe mensalmente processos que devem ser analisados por 2 analistas: A e B. Sabe-se que esses dois analistas recebem a mesma proporção de processos para a análise. Sabe-se que 20% de todos os processos encaminhados para A são analisados no mês de recebimento e que 10% são indeferidos. Sabe-se também que 40% dos processos encaminhados para B são analisados no mês de recebimento e que 20% são indeferidos. 
Sabe-se que um processo analisado no mês de recebimento foi indeferido. A probabilidade de ele ter sido encaminhado para A é igual a 

Atenção: Considere o enunciado abaixo para responder à questão.
Um determinado órgão público recebe mensalmente processos que devem ser analisados por 2 analistas: A e B. Sabe-se que esses dois analistas recebem a mesma proporção de processos para a análise. Sabe-se que 20% de todos os processos encaminhados para A são analisados no mês de recebimento e que 10% são indeferidos. Sabe-se também que 40% dos processos encaminhados para B são analisados no mês de recebimento e que 20% são indeferidos.
Cinco processos são selecionados ao acaso e com reposição em um determinado mês. A probabilidade de exatamente 2 não serem analisados no mês de recebimento é igual a

Atenção: Considere o enunciado abaixo para responder à questão.

Um determinado órgão público recebe mensalmente processos que devem ser analisados por 2 analistas: A e B. Sabe-se que esses dois analistas recebem a mesma proporção de processos para a análise. Sabe-se que 20% de todos os processos encaminhados para A são analisados no mês de recebimento e que 10% são indeferidos. Sabe-se também que 40% dos processos encaminhados para B são analisados no mês de recebimento e que 20% são indeferidos.

Um processo recebido em determinado mês é selecionado ao acaso. A probabilidade de ele ser deferido naquele mesmo mês é igual a

Um restaurante oferece a seus clientes 2 tipos de opção para refeições:
Opção A: entrada, prato principal e sobremesa. Opção B: entrada e prato principal.
Sabe-se que 30% dos clientes do sexo feminino preferem a opção A, 40% dos clientes do sexo masculino preferem a opção B e que 60% dos clientes são do sexo feminino. Sejam H e M os eventos que representam que o cliente é do sexo masculino e feminino, respectivamente. Sejam A e B os eventos que representam o cliente optar por refeição do tipo A e B, respectivamente. Nessas condições, P(AUH) é igual a