Seja k: (-1,1) →  uma função C² que satisfaz k" (t) = c,∀t∈(−1,1), em que c é um número real dado, é correto afirmar que

Em coordenadas cartesianas, uma função f in C^2 é dita harmônica se

                                                                          

Já em coordenadas polares, pode-se verificar se f é harmônica se tal função satisfaz 

                                                                    

Assinale a alternativa que apresenta uma função u (r,) em coordenadas polares que é harmônica. 

Considerando f:²→² de classe C¹, analise as assertivas e assinale a alternativa a alternativa correta. 

I. Se para todo ponto u ∈  existe uma vizinhança de u na qual f restrita a tal vizinhança é um difeomorfismo local, então f é um difeomorfismo sobre a sua imagem.

II. Dado um ponto u ∈ , se existir K > 0 para o qual |f’(u)⋅v|≥K|v|, para todo v ∈ ², então f é um difeomorfismo local em uma vizinhança de u.

III. Se existir u ∈  ponto singular de f, então não tem como f ser um difeomorfismo sobre sua imagem.

Com base no Problema de Valor Inicial

qual das seguintes alternativas corresponde ao valor do limite de y(t) quando t tende a +∞? 

Preencha as lacunas e assinale a alternativa correta.

Mostraremos que, se existir uma função f ∈ C² tal que satisfaz a equação de Laplace f  = 0 no disco unitário D ={(x,y) ∈ ²: x² + y² < 1} com a condição de bordo f (x,y) =  (x,y) para pontos (x,y) ∈ D, então tal função é única. De fato, suponha que f e g são duas soluções para a equação de Laplace com a condição de bordo descrita.

Mostraremos que devemos ter f (x,y) = g(x,y), para todo (x,y) ∈ D. Note que a função h(x,y) = f (x,y) − g (x,y) é de classe C² e que h = ________________, para todo ponto em D. Também temos que h (x,y) = 0, para todo (x,y) ∈ D.

Aplicando a identidade de Green, obtemos _D|h|² dA = −  _Dh hdA + hh., em que h denota o gradiente de h. Como h= 0 em D e h=0 emD, obtemos _D|h|² dA  = 0.

Sendo |h|² uma função não negativa, concluímos que h = . Como D é um conjunto __________________, concluímos que h deve ser __________________ em D. Uma vez que  h = 0 em D., segue que h é identicamente nula em D e que, portanto, f = g em D, como queríamos demonstrar.                    

Considerando f : U → ℂ uma função holomorfa definida em um conjunto aberto e conexo U, assinale a alternativa INCORRETA. 

Dadas as funções reais f e g de classe C² tais que f (0) = g (0)  = 0, considere a função real y (t) tal que y' (0) = 0 e y" = (t) + f′(t)y'(t) = e^g(t) (f'(t) + g′(t)). É correto afirmar que a derivada de y satisfaz                                                                    

Considere a função f (x, y) = x² − 2xy +2y definida em T = {(x, y) ∈ ²: 0  ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤1 - x}. Sobre essa função, assinale a alternativa correta. 

Com base na função real f:D →  com domínio D = {(x,y) ∈ ²:3x² + y² ≤ 25}  dada por f = (x,y) = x³ + 3x + y², assinale a alternativa correta. 

Sobre a função f(x,y) = (ln(x) sen(y), ln(x) cos(y)), cujo domínio é (0,∞) x , é correto afirmar que

A derivada da função f (x)= xe^x no ponto x = 0 é:

A temperatura (°C) no interior de uma estufa de laboratório sofre variação de acordo com a função T(t)=24t-3t² , sendo 0 ≤ t ≤ 24 horas. Com base nessas informações, qual é a temperatura máxima que essa estufa atinge?

Em um município, o volume de água V(t), em milhares de litros, presente em um reservatorio ao longo do tempo t em horas, apos o início de uma recarga, e modelado pela função:
V(t)=  ln (t² - 4t + 5), 
com t  0

O engenheiro responsável deseja analisar o comportamento da taxa instantânea de variação do volume para identificar o instante em que o volume do reservatório atinge seu valor mínimo, o que ocorre quando a taxa de variação se torna nula. Com base nesse modelo, em que instante a taxa de variação do volume é nula?

Um técnico em Agropecuária, ao analisar um experimento de cultivo de milho, determinou que a produtividade de grãos Y (em kg/ha) em função da dose de nitrogênio x (em kg/ha) aplicada em cobertura pode ser modelada pela seguinte função quadrática:

Y(x) = −0,4x 2 + 80x + 5.000

Considere as seguintes informações de mercado:

- O preço de venda do milho é de R$ 1,20 por kg.

- O custo do fertilizante nitrogenado é de R$ 6,00 por kg de nitrogênio.

- Os demais custos fixos de produção não dependem da dose de nitrogênio.

O lucro líquido adicional L(x) obtido pela adubação nitrogenada é dado pela diferença entre a receita bruta gerada pela produtividade e o custo total do fertilizante aplicado. Com base na análise de otimização matemática, a dose de nitrogênio que proporciona a Máxima Eficiência Econômica (MEE), ou seja, o maior lucro líquido para o produtor, é de:

Considerando que x > 0, assinale a alternativa correta a respeito da função real abaixo:

f(x) = x² _inx

Um modelo de desempenho é dado por f(x) = x³ - 6x² + 9x + 4, com x ≥ 0. A equipe quer classificar crescimento e decrescimento para definir faixas de operação automática.

I. f é crescente em (0, 1) e decrescente em (1, 3).
II. f é decrescente em (0, 1) e crescente em (1, 3).
III. f é crescente em (3, +∞).
IV. f tem ponto de inflexão em x = 2.

Está CORRETO o que se afirma em: 

Seja f(x) = 3x² − x − 1 uma função real de variável real. Uma equação da reta tangente a essa função no ponto de abscissa x = 2 é

O resto de Lagrange R_n (x) na fórmula de Taylor de ordem n para uma função f infinitamente derivável, em torno de X₀, envolve a derivada de ordem n + 1 avaliada em um ponto c entre X e X₀, é dado por:

A derivada de uma função f(x) em um ponto x0 é definida formalmente pelo limite:

Suponha a seguinte função de produção para determinado produto x = 5y₁ + y₁.y₂− 3y²₂, onde x é a quantidade de produto produzido, y₁ é a quantidade do fator de produção 1 e y₂ é a quantidade do fator 2. Considere que foram utilizadas 24 unidades de y₁. A quantidade de y₂, que maximiza a quantidade produzida do bem, é