Considere que determinada prefeitura realizou um estudo sobre o tempo gasto pelos cidadãos na fila de atendimento de um posto presencial de serviços administrativos. Observou-se que a distribuição do tempo de espera, em minutos, pode ser aproximada por uma Distribuição Normal com média igual a 30 minutos e desvio-padrão igual a 5 minutos. Dados adicionais: Φ(1)= 0,84 e Φ(2) = 0,98, em que Φ(z) representa a função de Distribuição acumulada da distribuição Normal Padrão no ponto z. Com base nessas informações, a probabilidade de que um cidadão escolhido ao acaso espere entre 25 e 40 minutos para ser atendido é:

Um servidor de dados armazena informações em 2 unidades de disco independentes. Por segurança, o sistema foi projetado com redundância: para que os dados permaneçam acessíveis, basta que pelo menos uma dessas unidades esteja em funcionamento.
No intervalo de um ano, cada uma dessas unidades tem 20% de probabilidade de falhar.

A probabilidade de que os dados permaneçam acessíveis nesse intervalo de tempo é de: 

    Um modelo financeiro indica as seguintes probabilidades a priori para a próxima decisão do Comitê de Política Monetária (COPOM) quanto à taxa de juros: redução (15%), manutenção (60%) e aumento (25%).

    Às 9 horas de certo dia, o IBGE divulgou uma inflação muito acima do esperado (evento E), sendo as seguintes as verossimilhanças de essa inflação ocorrer em cada cenário: P(E | redução) = 5%; P(E | manutenção) = 30%; e P(E | aumento) = 80%.

Nessa situação hipotética, aplicando-se o teorema de Bayes, a probabilidade a posteriori de o COPOM decidir por um aumento da taxa de juros, dado que o evento E ocorreu no referido dia, é

No planejamento de ações fiscais, modelos probabilísticos são frequentemente empregados para estimar riscos, avaliar amostras e subsidiar a tomada de decisões. Considerando os conceitos de espaço amostral, probabilidade e distribuições de probabilidades, assinale a alternativa INCORRETA. 

Em um estudo sobre falhas operacionais em sistemas públicos, definem-se os eventos:

A: falha elétrica

B: falha no sistema de comunicação

Sabe-se que P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 e que A e B são independentes.

Em relação a conceitos de probabilidade, independência e suas implicações, julgue os itens a seguir:

I. A probabilidade de ocorrência simultânea das duas falhas é P (A ∩ B) = 0,2, pois para eventos independentes a interseção é o produto das probabilidades marginais.

II. Se A e B são independentes, então também são independentes os eventos complementares A^c e  B^c, e além disso P (A^C ∩ B^C ) = 0,3

III. A independência de dois eventos implica necessariamente que eles sejam disjuntos (mutuamente exclusivos), a menos que um deles tenha probabilidade zero.

IV. Se um terceiro evento C for independente de A e também independente de B, então necessariamente C é independente da interseção A ∩ B. Essa propriedade é válida para qualquer espaço de probabilidade.

V. A definição formal de independência entre A e B é P (A ∩ B) = P (A) P (B), mas uma condição equivalente, quando P (B) > 0, é P (A ∣ B) = P (A).

Assinale a alternativa com a sequência CORRETA (V/F):

Em um estudo sobre a produtividade científica de uma universidade, um pesquisador classificou os projetos de pesquisa de uma grande faculdade em duas categorias: aqueles que resultaram em publicação em periódico de alto impacto e aqueles que não atingiram esse patamar. Sabe-se que 25% dos projetos da faculdade são da área de Ciências Biológicas. Entre os projetos da área de Ciências Biológicas, 60% resultaram em publicação de alto impacto. Entre os projetos das demais áreas (Ciências Exatas, Humanas etc.), a taxa de sucesso (publicação de alto impacto) é de 30%. Um projeto de pesquisa é selecionado aleatoriamente do banco de dados da universidade e verifica-se que ele resultou em uma publicação de alto impacto.

A probabilidade de que esse projeto seja da área de Ciências Biológicas é, aproximadamente:

Em um estudo estatístico sobre o comportamento de usuários em uma plataforma, verificou-se que a probabilidade de um usuário clicar em um anúncio do tipo A é de 0,2. Se 4 usuários acessarem a plataforma de forma independente, qual é a probabilidade de que pelo menos um deles clique no anúncio do tipo A?

Uma central da Guarda Municipal utiliza dois sistemas eletrônicos independentes e simultâneos de autenticação para controlar a única entrada de acesso a uma área restrita. O primeiro sistema falha em 2% das tentativas de autenticação, enquanto o segundo falha em 5% dessas tentativas. Considere que o acesso é liberado somente quando ambos os sistemas funcionam corretamente.

Com base nessas informações, dadas as afirmativas,

I. A probabilidade de ambos os sistemas falharem, simultaneamente, é na proporção de 1 em 100.
II. A probabilidade de, pelo menos, um dos sistemas falhar em uma tentativa de autenticação é igual a 0,069.
III. A probabilidade de o acesso não ser bloqueado em uma tentativa de autenticação é igual a 0,931.

verifica-se que está/ão correta/s 

Um setor de triagem possui uma caixa contendo chaves numeradas de identificação de salas. Ao todo, há 5 chaves destinadas ao bloco A e 7 chaves destinadas ao bloco B dentro da embalagem. Se o funcionário do plantão sortear duas dessas chaves de forma sucessiva e sem realizar a reposição da primeira chave sorteada no pote, qual é a probabilidade exata de que ambas as chaves retiradas pertençam especificamente ao bloco B?

Em uma campanha de conscientização sobre segurança no trânsito, uma prefeitura realizou um levantamento sobre a frota de veículos de uma determinada região. O relatório final apresentou a distribuição de veículos classificados por tipo e estado de conservação (Novo ou Usado), conforme indicado na tabela abaixo: 

Para uma inspeção técnica detalhada, um fiscal escolheu, ao acaso, um veículo desse grupo. Ao iniciar a vistoria, o fiscal constatou imediatamente que o veículo selecionado era usado.

Com base exclusivamente nessas informações, a probabilidade de que o veículo escolhido pelo fiscal seja uma motocicleta é de:

Paciente do sexo masculino, 40 anos, assintomático, sem anemia, sem perda ponderal, sem alteração do hábito intestinal e sem história familiar de câncer colorretal, realizou exames “preventivos” por iniciativa própria. Entre eles, solicitou um teste imunológico fecal (FIT), que resultou positivo. 
Procura o endoscopista bastante ansioso, afirmando ter lido que “todo FIT positivo significa câncer, até prova em contrário”.
Para fins de raciocínio clínico, considere:
• Probabilidade pré-teste de câncer colorretal na faixa etária do paciente: 0,1%
• Sensibilidade do FIT para câncer colorretal: 80%
• Especificidade do FIT para câncer colorretal: 95%
Assinale a opção que indica a melhor interpretação do resultado e a orientação inicial.  

Em um treino de arco e flecha, Gael tentou acertar balões presos a um alvo. Em cada tentativa, havia, exatamente, um balão no alvo, e a probabilidade de Gael acertá‑lo era igual a 80%. Desse modo, caso o balão fosse estourado, outro balão seria colocado no lugar antes da tentativa seguinte.

Com base nessa situação hipotética e considerando que as 3 tentativas são independentes, assinale a opção que apresenta corretamente a probabilidade de Gael errar, pelo menos, 1 vez nas 3 tentativas.

Em um depósito de materiais de construção, os parafusos são produzidos por duas máquinas, A e B. A máquina A produz 60% do estoque total e a máquina B produz os 40% restantes. Sabe-se que 65% dos parafusos da máquina A são do tipo "curto" e 55% dos parafusos da máquina B também são "curtos". Ao retirar um parafuso ao acaso deste depósito, qual é a probabilidade dele ser do tipo "curto"?

Uma estação meteorológica analisou o histórico de dados de uma cidade durante o outono. O rela tório indicou que, em um determinado dia dessa estação, a probabilidade de a temperatura mínima ficar abaixo de 20 ^oC é de 0,60. Além disso, a probabilidade de ocorrer chuva nesse mesmo dia e de 0,40. O estudo também revelou que a probabilidade de ambos os eventos ocorre rem simultaneamente (temperatura abaixo de 20 ^oC e chover) é de 0,18. Sabe-se que a temperatura mínima do dia foi atingida e ficou abaixo de 20 ^oC. Com base nessas informações, a probabilidade condicional de que ocorra chuva é de: