Os vértices da base de uma pirâmide VCDE estão sobre três vértices do quadrado BCDE. A projeção ortogonal do vértice V sobre o quadrado BCDE é o ponto H ∈ , tal que HD = 3HB, conforme mostra a figura.

Sabendo que o volume da pirâmide VCDE é igual a 192 cm³ e que a distância entre os pontos H e V é 2,25 vezes a distância entre os pontos H e B, a área da face VCE é:

Um cilindro B tem 7 cm de altura e a área de sua base mede o dobro da área da base de um cilindro A de altura 8 cm. Sabendo que o volume do cilindro B excede o volume do cilindro A em 432π cm³, a área da base do cilindro B é igual 

Em 2025, cada aluno de uma academia de artes marciais participou de exatamente dois torneios: um no Rio de Janeiro (RJ) e um em São Paulo (SP), mas esses alunos não participaram, necessariamente, dos mesmos torneios. Em abril, cada aluno participou de um torneio, de maneira que a razão entre o número de alunos que competiram no RJ e o número de alunos que competiram em SP foi igual a 3/8. Em julho, apenas alguns alunos participaram de torneios, sendo que 45 alunos competiram no RJ e 25 em SP, de tal maneira que, após as competições de julho, a razão indicada, considerando o total de participações até aquele momento, passou a ser igual a 4/9. Em outubro, todos os alunos com apenas um torneio realizado no ano participaram de mais um.

O número de alunos dessa academia é igual a

No plano, um ponto E está sobre o lado BC do quadrilátero ABCD, conforme mostra a figura.

Sabendo que o lado BC mede 22 cm, que a medida do lado CD excede a medida do lado AB em 14 cm e que tg β = 3/5, a área do triângulo ADE é

Considere um triângulo ABC e um ponto D sobre o lado BC, conforme mostra a figura.

Sabendo que o comprimento do segmento AB é igual ao dobro do comprimento do segmento AC, a área do triângulo ACD corresponde a:

Dada a matriz 1 3 M = , o maior elemento da matriz inversa de M é

Alfredo e Bernardo estão em treinamento de qualificação para tiro de 200 m. A probabilidade de Alfredo acertar a área de pontuação é 2/3, e a probabilidade de Bernardo acertar a área de pontuação é 5/8. Cada um desses atiradores irá disparar duas vezes. A probabilidade de Alfredo acertar a área de pontuação mais vezes do que Bernardo é:

A reta r, de equação 3x – 2y + 18 = 0, intersecta perpendicularmente a reta s, conforme mostra a figura.

Sabendo que a área do triângulo determinado pelas retas r e s e pelo eixo x é 39, a reta s intersecta o eixo y no ponto de ordenada:

O cuboctaedro truncado é um poliedro convexo formado por 26 faces, algumas octógonos regulares, algumas hexágonos regulares e as demais quadrados, sendo o número de faces quadradas igual ao dobro do número de faces octogonais.

Se em cada vértice do cuboctaedro concorrem 3 arestas, o número de faces hexagonais desse poliedro é igual a

Um treinamento foi realizado por 420 soldados de determinado regimento. Para o transporte desses soldados do quartel até o local de treinamento, foi utilizado um total de 26 veículos, entre caminhões táticos, ônibus e jipes, cada tipo de veículo transportando um número de soldados respectivamente igual a 20, 24 e 4. A volta de todos para o quartel foi feita utilizando 2 caminhões táticos a menos, 1 ônibus a menos e o mesmo número de jipes, cada tipo de veículo transportando um número de soldados respectivamente igual a 22, 29 e 6.

O número total de ônibus e jipes utilizados no transporte de ida até o local de treinamento é igual a

Considere a equação logarítmica: 

A única raiz real dessa equação é um número múltiplo de 

Sobre uma malha quadriculada estão dispostos 35 pontos, entre eles os pontos O e F. Um caminho deverá ser traçado do ponto O ao ponto F avançando 10 pontos, um ponto por vez, de maneira que o caminho final tenha avançado 4 pontos para cima (C), 3 pontos para a direita (D) e 3 pontos para a esquerda (E). O caminho pode passar por F antes de avançar os 10 pontos, mas obrigatoriamente deve avançar 10 pontos e terminar em F, o que implica que, em alguns caminhos, um segmento que liga dois pontos consecutivos pode ser percorrido mais de uma vez. A figura ilustra a malha, os 35 pontos e o caminho DDCCCCEEDE.

No centro da malha, 9 pontos estão em destaque. O total de caminhos distintos que passam por pelo menos um desses pontos em destaque é igual a 

Sejam a, b, c e d as raízes da equação:

x⁴ – 15x³ + 20x² + 240x – 576 = 0

Sabendo que a + b = 0, o algarismo das unidades da maior raiz dessa equação é

Considere o seguinte teorema:

Sendo mdc(f, g) o máximo divisor comum entre os polinômios f e g, α é uma raiz comum dos polinômios f e g se, e somente se, α é uma raiz do mdc(f, g).

As raízes comuns dos polinômios f(x) = 6x⁵ + 49x⁴ – 65x² – 6x + 16 e g(x) = 6x³ – 11x² – 4x + 4 estão contidas no intervalo:

No interior do triângulo retângulo ABC foram traçados 7 segmentos paralelos ao lado BC, com extremidades nos lados AB e AC, sendo iguais as distâncias entre dois segmentos consecutivos quaisquer e entre o maior desses segmentos e o lado BC, conforme mostra a figura.

Sabendo que tg α = 2,5 e que a área do quadrilátero DEFG é 720 cm², a área do triângulo ABC corresponde a

Dois pelotões, Alfa e Bravo, estão fazendo um treino de corrida, ambos mantendo formação em fila, ou seja, com os militares dispostos em coluna, um atrás do outro. No pelotão Alfa, os militares usam camisas numeradas que formam uma progressão aritmética (PA), com o número da camisa do primeiro militar igual a 1, do segundo igual a 4, do terceiro igual a 7, e assim, sucessivamente, até o último militar. No pelotão Bravo, as camisas também são numeradas e formam a PA 5, 9, 13, 17, ….

Em certo instante, ambos os pelotões, que correm em sentidos opostos em vias retilíneas e paralelas, aproximaram-se de uma guarita. O primeiro militar de cada um dos pelotões passou pela guarita ao mesmo tempo e, em seguida, para cada 1 militar do pelotão Alfa que passou pela guarita, passaram 3 militares do pelotão Bravo.

No momento em que o último militar do pelotão Bravo passou pela guarita, a diferença entre o número de sua camisa e o número da camisa do militar do pelotão Alfa que passou ao mesmo tempo que ele é igual ao número da camisa do último militar do pelotão Alfa.

Sabendo que, no momento em que esses dois militares estavam passando pela guarita, ainda faltavam passar 19 militares do pelotão Alfa, o número total de militares desses dois pelotões é igual a

Seja f(x) = 16^x , g(x) = 2^x e . O valor de x tal que, f(g(h(x))) = 2 é 

Seja A = {x ∈ | 0 ≤ x ≤ 7}. O conjunto imagem da função f: A → , tal que y = é:

Seja U o conjunto formado por todos os números inteiros pares positivos cuja soma dos algarismos é igual a 6. Considere os seguintes subconjuntos de U: A = {a ∈ U | a < 4000} e B = {b ∈ U | b tem mais de 4 algarismos}. Seja  = U − B. O número de elementos do conjunto A ∩ é igual a 

Considere as constantes reais a, b, c, m, q, r e s e a função real definida pela sentença:

Considere também o gráfico de f:

O valor de f(10) é