Um pesquisador em Matemática está explorando as propriedades das raízes de polinômios de terceiro grau. Durante seu estudo, ele se deparou com uma expressão curiosa envolvendo radicais conjugados, defi nida por:
O desafio consiste em simplifi car essa expressão para sua forma mais elegante. Sabendo que a expressão apresentada admite simplificação exata e que seu valor é um número inteiro, assinale a alternativa que corresponde ao valor de S:

Um estudante de Ensino Médio, ao revisar o conteúdo de geometria plana, decidiu criar um problema baseado em um esboço de seu próprio caderno. O desenho representa duas circunferências de raios distintos, apoiadas tangencialmente a uma reta r, que simula uma régua inclinada, de modo que ambas fi quem localizadas em um mesmo semiplano em relação a r. A fi gura descreve as circunferências de centros C1 e C2, tangentes à reta nos pontos M e N, respectivamente. Após realizar medições em seu desenho, o estudante anotou que a distância entre os pontos de tangência MN mede 50 cm, a distância entre os centros das circunferências C₁C₂ é de 51 cm e a área do quadrilátero C₁C₂MN é igual a 400 cm². Considerando que p e q representam as áreas das circunferências de centros C₁ e C₂ , respectivamente, o valor da razão q/p é igual a:

Deseja-se confeccionar uma embalagem no formato de um prisma triangular regular, sem tampa, utilizando uma chapa metálica plana. A chapa original possui o formato de um triângulo equilátero com lado medindo 26 cm, conforme ilustrado na fi gura. Para a montagem, são demarcadas três abas retangulares de largura x em cada um dos lados do triângulo original. Ao dobrar essas abas verticalmente em um ângulo de 90°, elas passam a constituir as paredes laterais da caixa. Considerando que a largura das abas é x = 2 cm, a medida do lado do triângulo equilátero interno s, que corresponde à base da embalagem resultante é: 

Considere um cubo de aresta a e uma esfera de raio r = a/2. Ambos os sólidos estão apoiados sobre um plano horizontal β, de modo que o cubo repousa sobre uma de suas faces e a esfera também está em contato com o plano. Sabe-se que a esfera é tangente ao cubo exatamente no centro de uma de suas faces laterais. Nessas condições, a distância d entre o centro da face de apoio do cubo no plano β e o centro da esfera é:

Um designer projetou um peso de papel maciço composto pela junção de dois sólidos: um prisma de base trapezoidal e uma pirâmide, conforme ilustrado na figura: A seção transversal da base comum aos dois sólidos foi desenhada a partir de um triângulo retângulo ABC, onde DE é perpendicular a BC e AC = BE. Sabe-se que BD = 1/2 cm, a soma dos segmentos DE + BC = 1 cm e que a altura (profundidade) de todo o conjunto é de 5 cm. Considerando que a pirâmide está posicionada com sua base retangular EDD’E’ acoplada ao prisma, o volume total desse objeto, em cm³, é de:

Um professor de Matemática propôs uma atividade prática para estudar o volume de sólidos de revolução. Para isso, utilizou um lápis cilíndrico inicialmente sem pontas, uma régua e dois apontadores distintos, cada um com inclinação de lâmina diferente. Os alunos foram orientados a apontar o lápis em ambas as extremidades, utilizando um apontador específi co em cada lado. Ao fi nal, obteve-se um sólido composto por um cilindro central e dois cones de alturas diferentes.  
Com o auxílio da régua, os alunos mediram as dimensões do novo sólido e constataram que o comprimento total era de 17 cm e o diâmetro da base era de 6 mm. As alturas das partes cônicas (pontas) medidas foram de 8 mm e 17 mm. Considerando essas medidas, o volume total do sólido, em cm³ e em função de π, é:

Em um modelo simplifi cado de engenharia, a intensidade I(x) de um sinal (em unidades arbitrárias) depende de um parâmetro real x e é dada por:

Para que o modelo faça sentido, I(x) deve assumir valores reais e estar bem defi nida (isto é, o denominador não pode ser zero). Nessas condições, o domínio de I(x) é:

Sejam a e b números reais tais que a > 1 e b > 1. Considere a expressão

 Entre todas as escolhas possíveis de a e b, o valor mínimo de I é:

Considere x e y números reais quaisquer e k um número real tal que k > 0 . Analise as afirmações a seguir, referentes a propriedades do módulo: Podemos afirmar que as propriedades INCORRETAS são, respectivamente, os itens:

Em um evento científi co, três minicursos podem ser escolhidos pelos participantes: I (Introdução à Iniciação Científi ca), F (Ferramentas Computacionais) e P (Produção de Artigos). Sabe-se que a participação no minicurso I é independente da participação no minicurso P, e que a participação no minicurso F também é independente da participação no minicurso P. Além disso, por confl ito de horário, um participante não pode se inscrever simultaneamente nos minicursos I e F. A partir de dados do evento, verifi cou-se que a probabilidade de um participante se inscrever em pelo menos um dos minicursos I ou P é 7/10, que a probabilidade de um participante se inscrever em pelo menos um dos minicursos F ou P é 4/5 e que a probabilidade de um participante se inscrever em pelo menos um dos três minicursos (I ou F ou P) é 19/20.

Nessas condições, qual alternativa apresenta, respectivamente, as probabilidades de um participante se inscrever nos minicursos I, F e P?

Uma lanchonete lançou uma promoção de lanche completo, composto por 1 salgado e 7 copos de suco. Na promoção, o cliente escolhe 1 entre 7 tipos de salgados disponíveis. Para os sucos, existem 4 sabores (laranja, uva, manga e goiaba) e o cliente deve escolher 7 copos, sendo permitido repetir sabores. A lanchonete registra o pedido apenas pelo número de copos de cada sabor (por exemplo, 3 de laranja, 2 de uva, 1 de manga e 1 de goiaba). Assim, trocar a ordem em que os copos são escolhidos não gera um novo pedido. 
Nessas condições, o número de maneiras distintas de montar um lanche completo nessa promoção é:

Um professor de Matemática vai montar uma prova com 6 questões usando um software livre que seleciona itens de um banco de questões. Para elaborar a prova, o programa é confi gurado para escolher uma questão para cada uma das seis questões: para a 1ª questão, há 11 opções disponíveis; para a 2ª questão, há 13 opções distintas; para a 3ª e a 4ª questões, há 7 opções disponíveis para cada uma delas; e, para a 5ª e a 6ª questões, o software utiliza um único banco com 9 questões, do qual são selecionadas duas questões diferentes, uma para a 5ª e outra para a 6ª, sem repetição.

Nessas condições, o número de provas distintas que esse professor pode gerar é: 

Seja a sequência  para valores de x tais que a série converge. Sabe-se que a série é igual a:

Seja f(x) definida pela série de potências, então o raio de convergência da série, é:

Seja 

Uma empresa de internet realizou uma pesquisa de satisfação com seus clientes com o objetivo de melhorar os serviços oferecidos. As notas atribuídas pelos participantes foram organizadas na tabela de distribuição de frequências a seguir:
A empresa calculou a mediana das notas obtidas na pesquisa para, posteriormente, tomar providências, como realizar ajustes no atendimento e ampliar os serviços oferecidos.
O valor da mediana é:

Dadas as retas r: 3x–5y+9=0 e s: 2x+7y–11=0, sabe-se que as retas r e s são concorrentes. Ao calcularmos a menor distância entre o ponto de interseção das retas r e s com a t: –3x+4y–6=0, encontramos: 

Em uma cantina escolar, a matriz ቀ 12 8 10 15 6 9 ቁ representa as quantidades vendidas de três produtos em dois turnos. Na primeira linha, estão as vendas do turno da manhã, e, na segunda, as do turno da tarde. As colunas correspondem, nessa ordem, a sanduíches, sucos e bolos.

Sabendo que os preços desses produtos são, respectivamente, R$ 6,00, R$ 4,00 e R$ 5,00, assinale a alternativa que apresenta o valor arrecadado no turno da tarde.

De acordo com um aplicativo de previsão do tempo, a probabilidade de chover na sexta-feira é de 20%, no sábado é de 30% e no domingo é de 40%. Considerando que esses eventos são independentes, assinale a alternativa que apresenta a probabilidade de chover em pelo menos um desses três dias. 

Leia a seguinte tirinha.

Com base nas interações apresentadas nas tirinhas, o conceito matemático que precisa ser consolidado para evitar as justificativas equivocadas do aluno é o(a)