Um terreno de 2.000 m² abrigará um total de 40 unidades de habitações de interesse social. Sabendo que 1 hectare (ha) corresponde a 10.000 m², a densidade habitacional será de 

Em uma rota acessível interna, há um desnível de 0,72 m que deve ser superado por meio de uma rampa com inclinação de 8%. O comprimento dessa rampa, em projeção horizontal, deve ser de

Tokyo, uma japonesa em visita a cidade de São Paulo/SP decide ir a cidade de Tabatinga, interior de São Paulo, fazer compras de vários ursinhos de pelúcia. Ela decide alugar um carro e na oportunidade foi informada pela empresa de locação que o carro escolhido por ela consome 15 litros de combustível para percorrer uma distância de 180 km. Mantendo esse mesmo desempenho, quantos litros serão necessários para percorrer 300 km?

O setor de contabilidade da Câmara Municipal de Tabatinga/SP, recebeu uma dotação orçamentária suplementar destinada à aquisição de materiais de consumo para o expediente. Sabe-se que, com o montante de R$ 21.450,00, a administração consegue adquirir exatamente 3.300 unidades de um determinado item de expediente de alto padrão.

Considerando que o fornecedor mantém, rigorosamente, a mesma relação de preço unitário e que a Câmara deseja realizar um empenho para adquirir um total de 5.450 unidades desse mesmo item para suprir a demanda, o valor total do novo empenho a ser emitido pelo contabilista será de:

A Lemniscata de Gerono corresponde à curva fechada cuja parametrização no plano pode ser dada por  y (t) = (cos(t),sen(t)cos(t)), para t  ∈ [0,2π]. Tal curva tem o formato que lembra o símbolo do infinito, e a região do plano delimitada por y corresponde a dois conjuntos abertos conexos. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto da área total da região delimitada por y . 

Considere a função complexa de variável complexa f(z) definida por: 

Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 

Considere o valor vetorial conservativo  (x,y) = (e^x + y², 2xy) cuja função potencial é dada por f (x,y) = e^x + xy². Assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor da integral de linha  .  sobre a curva parametrizada y (t) = (tcos(2πt), tsen (2πt)) com t ∈ [0,1].

Sobre a série

              

 assinale a alternativa correta.

Com base na equação diferencial ordinária y’’ + ay = 0, é correto afirmar que 

Considere a função f (x,y) = x² +y² −2x−4y+6 definida no conjunto compacto K ={(x,y) ∈ ²: x² +y² ≤ 9}. Sobre os pontos críticos de f no interior de K, assinale a alternativa correta. 

Seja k: (-1,1) →  uma função C² que satisfaz k" (t) = c,∀t∈(−1,1), em que c é um número real dado, é correto afirmar que

Em coordenadas cartesianas, uma função f in C^2 é dita harmônica se

                                                                          

Já em coordenadas polares, pode-se verificar se f é harmônica se tal função satisfaz 

                                                                    

Assinale a alternativa que apresenta uma função u (r,) em coordenadas polares que é harmônica. 

Considere D  ² um domínio regular sem fronteira e F (x,y)=(P(x,y),Q(x,y))um campo de classe C¹. O Teorema de Green garante que 

                                                                       

Como corolário, podemos demonstrar a primeira identidade de Green, o qual afirma que, se F e g são funções reais de classe C¹ definidas em D, então 

                                                             

Nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta em quais campos se deve aplicar o Teorema de Green para obter a identidade anterior. 

Considerando f:²→² de classe C¹, analise as assertivas e assinale a alternativa a alternativa correta. 

I. Se para todo ponto u ∈  existe uma vizinhança de u na qual f restrita a tal vizinhança é um difeomorfismo local, então f é um difeomorfismo sobre a sua imagem.

II. Dado um ponto u ∈ , se existir K > 0 para o qual |f’(u)⋅v|≥K|v|, para todo v ∈ ², então f é um difeomorfismo local em uma vizinhança de u.

III. Se existir u ∈  ponto singular de f, então não tem como f ser um difeomorfismo sobre sua imagem.

A respeito da série

                                                                             

é correto afirmar que 

Com base no Problema de Valor Inicial

qual das seguintes alternativas corresponde ao valor do limite de y(t) quando t tende a +∞? 

Considere f uma função complexa holomorfa definida em conjunto aberto U e considere z₀ um ponto em U. 

Suponha que o disco D ={z∈ℂ:|z−z₀| ≤ r} está contido em U e seja y o círculo correspondente ao bordo de D  orientado no sentido anti-horário. A fórmula integral de Cauchy propõe que, nessas condições, há  dz. 

Nesse contexto, a respeito da fórmula da integralde Cauchy, assinale a alternativa INCORRETA.

Preencha as lacunas e assinale a alternativa correta.

Mostraremos que, se existir uma função f ∈ C² tal que satisfaz a equação de Laplace f  = 0 no disco unitário D ={(x,y) ∈ ²: x² + y² < 1} com a condição de bordo f (x,y) =  (x,y) para pontos (x,y) ∈ D, então tal função é única. De fato, suponha que f e g são duas soluções para a equação de Laplace com a condição de bordo descrita.

Mostraremos que devemos ter f (x,y) = g(x,y), para todo (x,y) ∈ D. Note que a função h(x,y) = f (x,y) − g (x,y) é de classe C² e que h = ________________, para todo ponto em D. Também temos que h (x,y) = 0, para todo (x,y) ∈ D.

Aplicando a identidade de Green, obtemos _D|h|² dA = −  _Dh hdA + hh., em que h denota o gradiente de h. Como h= 0 em D e h=0 emD, obtemos _D|h|² dA  = 0.

Sendo |h|² uma função não negativa, concluímos que h = . Como D é um conjunto __________________, concluímos que h deve ser __________________ em D. Uma vez que  h = 0 em D., segue que h é identicamente nula em D e que, portanto, f = g em D, como queríamos demonstrar.                    

Em uma barra de comprimento L = π com difusividade térmica α2 = 1, a distribuição de temperatura u (x,t) é governada pela equação do calor: 
, 0 <x<π, t>0
As extremidades da barra são mantidas a uma temperatura de 0 ºC (Condições de Dirichlet):
u (0,t) = 0 e u (π,t) = 0, t > 0. 
Se a distribuição inicial de temperatura no instante t = 0 é dada por u (x,0) = 5sen(x)−2sen(3x), assinale a alternativa que apresenta a expressão correta para u (x,t).

Considere o campo vetorial : ³  → ³  dado por  (x,y,z) = (f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)), em que

f (x,y,z) = x +e^z . cos(y),

g (x,y,z) = y - z². sen(x),

h (x,y,z) = z - x² y² _. 

Seja S a superfície correspondente à fronteira da região sólida limitada pelo paraboloide z = 1 - x² -  y² e pelo plano z = 0, com orientação voltada para fora, assinale a alternativa que apresenta o valor correto de _s.  , o fluxo do campo  através de S.