Suponha que um estatístico necessita tomar uma amostra aleatória de uma população finita com tamanho N de modo a poder estimar um parâmetro θ com precisão d e com confiança de (1 - α) Seja z o escore normal padronizado correspondente ao nível de confiança, ou seja, a área até 1 - α/2 e admitindo por trabalhos anteriores que o desvio padrão populacional é conhecido e igual a σ, o tamanho da amostra é

Considere o processo estocástico, cujo passado não tem influência sobre o futuro se o presente é especificado. Isto significa que, se t_n-1 < t_n , então

Um grande Sistema de Armazenamento de Água para abastecimento de uma região metropolitana, em determinado momento de um período, tem um volume de 1,269 milhões de m3 de água. Em um dia qualquer desse período, a entrada de suprimento de água é igualmente provável para os valores de 3,00; 3,50 e 4,00 unidades de volume de água. Já a demanda é também equiprovável e poderá ter valores de 2,50; 3,00 e 3,50 unidades de volume. Então, considerando o suprimento como a variável aleatória X e a demanda como a variável aleatória Y, é correto afirmar que a função de probabilidade conjunta dessas variáveis aleatórias, P(X=x, Y=y), e as funções de probabilidade marginais, P(X=x) e P(Y=y), são iguais, respectivamente, a

Seja o par (x_i, y_i) i = 1, 2, ..... , n de variáveis aleatórias para o qual pode-se assumir o modelo Normal Bivariado na modelagem da distribuição conjunta f(x, y), ou seja, f(x,y) = , em que μ₁ e μ₂ são as médias de X e Y, respectivamente, as variâncias correspondentes a X e Y, já ρ é o coeficiente de correlação entre X e Y. Nestas condições, é possível afirmar que , com  e  sendo os estimadores UMVU de μ₁ e μ₂ respectivamente, é

O valor da probabilidade de uma carta não detectar a mudança de um σ na primeira amostra após uma variabilidade anormal se instalar em certo processo é β = 0,7775 (erro β). Então, a probabilidade dessa mudança de um desvio padrão ser detectada somente na quarta amostra tomada após a variabilidade anormal se instalar é

Atualmente, existe entre empresas montadoras e seus fornecedores acordos de garantia de qualidade, fixando zero defeitos nos lotes de peças enviados do fornecedor para a montadora. Um meio termo entre a inspeção 100% e nenhuma inspeção é a inspeção por amostragem para aceitação de lotes ou, simplesmente, amostragem de aceitação de lotes. A execução da inspeção por amostragem é feita a partir de um plano de amostragem pré-estabelecido segundo alguns critérios. Então, se de acordo com certo plano para sentenciamento de um lote de tamanho N forem tomadas n peças que serão classificadas em conformes e não conformes, a distribuição de probabilidade usada na definição do plano é a

Seja uma a.a. [X₁, X₂, ... , X_n] de uma distribuição f(x, θ), θ ∈ Θ. A estatística T(X) é suficiente para θ se e somente se existem as funções g(t, θ), definida para todo t e para todo θ ∈ Θ, e h(X) definida em Rⁿ tal que P(X, θ) = g[T(X), θ].h(X), ou seja, a função de probabilidade conjunta fatora no produto da função g[T(X), θ] pela função h(X). Este é o enunciado do teorema

O teste “t” de Student pode ser usado na comparação das médias de dois grupos. Tomase uma amostra de cada grupo, calculam-se as médias amostrais, os desvios padrões amostrais e a estatística do teste. Mas existem três condições para que a aplicação desse teste esteja rigorosamente correta. Essas condições são:

A contagem de certa bactéria em uma lamínula com cultura segue uma distribuição de Poisson com parâmetro θ para uma área de 1,5 cm² após um tempo T. Então, o número esperado de bactérias para certa lamínula, na área de 1,5 cm² e passado o tempo T é

Mariana gosta muito de feijoada. Ela sabe, embora queira, que não pode comer feijoada todos os dias, por questões de saúde. Mariana, então, condicionou sua escolha entre uma refeição com feijoada e uma refeição super saudável ao lançamento de uma moeda. Diariamente Mariana lança a moeda: se der coroa, ela come feijoada, se der cara, ela come a refeição super saudável. A probabilidade de dar cara é igual à probabilidade de coroa.
Qual a probabilidade de Mariana comer feijoada no máximo um dia de 4 dias observados?

Maria escreve carta para Pedro com probabilidade 1/3. Sabe-se que tendo escrito alguma carta, Maria a envia com probabilidade 1/2. No correio local, a probabilidade de uma carta se extraviar é de 1/4. Quando recebe carta de Maria, Pedro escreve carta-resposta a Maria com probabilidade 1/3. Pedro sempre entrega pessoalmente as cartas que escreve.
Qual a probabilidade de Pedro responder a carta de Maria?

Sejam X_₁, X₂,⋯, Xn uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com E(X₁)=λ e Var(X₁)=θ. Com base na amostra anterior, definem-se os estimadores a seguir.


Para os estimadores acima, é CORRETO o que se afirma em:

Seja X uma variável aleatória com distribuição exponencial, com função densidade de probabilidade dada por f(x)= λexp(-λx), para x≥0 e f(x)=0, para x<0. Com relação ao valor esperado e a variância de X, assinale a alternativa CORRETA:

Se, X é uma variável aleatória com distribuição Uniforme [0,2].Seja f:→ linear, com f (1) = 2. Pode-se afirmar que f (X) tem distribuição:

Suponha que X ~Normal (0,3). E seja F (x) = P (X ≤ x) a função de distribuição de X. Tem-se que F (0) é igual a:

Sobre uma experiência com múltiplos ensaios e usando a distribuição de probabilidade binomial: 
I. Cada ensaio tem probabilidade variável de sucesso e de fracasso. 
II. Cada ensaio binomial tem apenas dois resultados possíveis. 
III. O resultado de um ensaio afeta o resultado do ensaio seguinte. 
IV. Os ensaios binomiais são independentes entre si.
A sequência correta é:

Sobre a distribuição de probabilidade normal pode-se afirmar que: 
I. Há mais de 95% dos valores da distribuição entre 2 e -2 desvio padrão. 
II. Os valores abaixo da média representam 50% da distribuição. 
III. Entre a média e 1 desvio padrão temos menos de 25% dos dados da distribuição. 
IV. Os valores entre 3 e -3 desvios-padrões são considerados outliers. 
A sequência correta é:

Qual das alternativas abaixo NÃO apresenta um exemplo da Distribuição de Probabilidades de Poisson?

Usuários de certo medicamento para o tratamento de câncer interpõem aos órgãos públicos responsáveis, através da Defensoria Pública de sua região, ações para o recebimento do medicamento. Suponha que o tempo, em meses, entre a interposição da ação e o recebimento do medicamento pelos usuários, seja uma variável aleatória com a seguinte função de probabilidade

Nessas condições, o tempo médio, em dias, para o recebimento do medicamento pelos usuários pertence ao intervalo

A e B são eventos de um mesmo espaço amostral. Relativamente a A e B sabe-se que:

I. a probabilidade de A ocorrer é igual a 1/4;

II. a probabilidade de B ocorrer é igual a 3/5;

III. a probabilidade de que A não ocorra e de que B não ocorra é igual a 1/5.

Nessas condições, a probabilidade condicional de B dado A, denotada por P(B|A), é igual a