A Lei de Zipf, formulada na década de 1940 pelo linguista americano George Kingsley Zipf, diz que em determinadas listas ordenadas, como a população das maiores cidades de um país, ou as palavras mais usadas em um idioma, a frequência de qualquer item é dada pelo inverso da posição do item na lista em relação ao primeiro lugar.
Por exemplo, em um país cujas cidades sigam exatamente a lei de Zipf em relação ao número de habitantes, se a cidade mais populosa tem 120.000 habitantes, a segunda cidade terá 60.000 habitantes, a terceira cidade terá 40.000 habitantes, e assim por diante.
Considerando um pequeno país que tem um total de 10 cidades, cuja 8ª maior cidade tem 5.000 habitantes, a população total desse país será aproximadamente:

A Matemática tem algumas curiosidades que nos chamam atenção. Uma delas é que um mesmo número podeser escrito de muitas formas diferentes.
Analise as proposições.
I.  1/ 1+√2  + 1/ √2+√3 + 1/ + 1 / √3+√4 = 1
II. 5/2 ( 1 - 3/2 + 9/4 - 27/8 + 81/16 + ... ) = 1
III. - 2 - 23/15 - 16/15 - 3/5 - 2/15 + 1/3 + ... 11/5 = 1
IV. 2cos² (θ) - cos (2θ) = 1
Assinale a alternativa correta.

Considere a função f (x) = cos(x) + √3 sen(x), e analise as proposições.

I. f (x) = 2 sen (x + α) para algum α ∈ [0, π/2]

II. f possui uma raiz no intervalo [0, π/2]

III. f tem um período π

Assinale a alternativa correta.

Uma pesquisa sobre os fatores que influenciam na escolha de um livro para leitura foi realizada em um grupo de 80 pessoas. Elas foram questionadas se na hora de escolher um livro levavam em consideração o gênero de sua preferência, a indicação de amigos ou as listas dos mais vendidos, sendo que poderiam optar por uma, duas ou as três opções.
Ninguém respondeu ser influenciado apenas por listas dos mais vendidos, mas 20 pessoas responderam levar esse fator em consideração. Além disso, 28 responderam considerar apenas o gênero de sua preferência, enquanto 5 disseram que as três opções influenciam suas decisões.
Sabendo, ainda, que o número de pessoas que se baseiam apenas nas indicações dos amigos é igual aos que disseram levar em consideração apenas as indicações dos amigos e o gênero de sua preferência, então pode-se afirmar que a quantidade de pessoas que seguem apenas as indicações de amigos é:

Observe as proposições a seguir e determine se são verdadeiras ou falsas.

A ordem correta para os valores lógicos das proposições i, ii, iii e iv é:

Considere as seguintes afirmativas anunciadas por um desenhista.

I. Duas retas distintas paralelas a uma terceira são paralelas entre si.

II. Dois planos distintos paralelos a um terceiro são paralelos entre si.

III. Por um ponto exterior a um plano passa um único plano paralelo ao primeiro.

IV. Por um ponto exterior a um plano passa um único plano perpendicular ao primeiro.

Assinale a alternativa correta.

Com base nessas informações, considere as afirmativas a seguir.

I. A quantidade total de fichas utilizadas para a montagem do painel é um número quadrado perfeito.

II. Foi utilizada a mesma quantidade de fichas brancas e pretas para a montagem do painel.

III. O maior quadrado possível que se pode montar tem um número ímpar de fichas.

IV. A quantidade total de fichas utilizadas para montagem do painel é um número primo.

Assinale a alternativa correta.

Considere os conjuntos O conjunto (B - A)^c é:

Em cada uma das seis cartas exibidas a seguir, figuram exatamente dois números naturais, apenas um em cada face, e não há números repetidos dentre todos os doze números distribuídos nessas cartas.

Sobre os números nas faces das cartas dispostas acima, Ana, Bianca e Carmem fizeram, respectivamente, as seguintes afirmações: – Se uma das faces de qualquer uma das cartas contém um número primo, então a outra face da mesma carta contém um número par. – Quando uma das faces de uma das cartas contém um número primo, então a outra face da mesma carta contém um número ímpar. – Uma das faces de uma das cartas contém um número primo se, e somente se, a outra face da mesma carta contém um número par.
Para verificar se cada uma delas disse ou não a verdade, analisando cada afirmação separadamente, quais cartas deverão ser necessariamente viradas? Considere que as análises sejam feitas em momentos distintos, por pessoas diferentes, que cada uma delas analise apenas uma das afirmações indicando quais cartas deverão ser viradas simultaneamente, antes mesmo de que qualquer carta seja virada, e sem saber quais cartas as outras pessoas viraram.

Talvez você já tenha visto em algum escritório um tipo muito específico de calendário de mesa, que alguns chamam de calendário perpétuo, cujas datas são indicadas pelos números das faces de cubos. Um calendário desse tipo foi patenteado em 1957 por John Singleton, mas ele deixou a patente vencer na década seguinte. Observe a representação dos dias 25 e 26 – de um mês qualquer – com o tal calendário.

Na figura, os outros números foram omitidos, mas cada uma das faces deve apresentar exatamente um algarismo e os cubos podem ser dispostos em qualquer posição. Dessa forma, do primeiro ao trigésimo primeiro dia, qualquer data pode ser representada com apenas esses dois cubos (nos atentemos à representação dos dias, e não dos meses).
Considerando todas as possíveis distribuições dos algarismos, nas doze faces, que possibilitem representar todas as datas citadas no texto – atendendo às condições estabelecidas –, você deve escolher apenas um desses cubos e em seguida somar todos os possíveis números distintos, compostos por um único algarismo, que conseguir obter a partir das faces do cubo escolhido. Sem que um mesmo número seja somado mais de uma vez, qual a maior soma possível?

Para aproveitar uma sobra de material, Pedro Pardal pretende montar sistemas de discos dispostos de tal forma que um deles, enquanto acionado mecanicamente, faça com que todos os demais se movimentem simultaneamente. As figuras abaixo são esboços de alguns modelos com as formas e padrões de peças que Pedro Pardal pretende construir e esses modelos determinam uma sequência geométrica.


A intenção do “inventor” é colorir os discos das mais variadas formas possíveis para que, ao se movimentarem, despertem a atenção das pessoas que passarem em frente à sua oficina. Para a pretendida construção, Pedro Pardal tem à disposição um único tipo de disco – todos com 1,2 metro de diâmetro – e inúmeras barras com exatamente 6 metros de comprimento cada uma. Essas barras não poderão ser cortadas em hipótese alguma. Poderão apenas ser dobradas para dar forma à estrutura que sustentará os discos. Cada uma dessas estruturas precisará, necessariamente, ser construída com uma única barra, ter a forma de um polígono regular com perímetro igual ao comprimento inicial da barra e cada um de seus vértices, sem exceção, será conectado ao centro de um disco, e apenas um, de tal forma que funcionará como um eixo, possibilitando que ele gire. Pequenos ajustes para garantir os encaixes e possibilitar que os discos girem são perfeitamente possíveis.
Considerando apenas os tipos de peças disponíveis para reaproveitamento, as condições descritas no texto e lembrando que sua obra deve assumir a forma de qualquer um dos modelos da sequência apresentada na figura anterior, quantos tipos distintos de sistemas Pedro Pardal poderá construir para colocar os discos em movimento e impressionar as pessoas?

Quadrados iguais de lado 1 são justapostos, segundo padrão representado nas figuras das etapas abaixo.

Mantido esse padrão de construção, o número de quadrados de lado 1, existentes na figura da etapa 100, é

Considere as igualdades abaixo.

I) (1- 2i)(1+ 2i) = 5 , sendo i a unidade imaginária.

II) 2⁰ + 2^-1 + 2^-2 + 2^-3 + ... = 2

III) 1- 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...+ 99 -100 = 50

Quais igualdades são verdadeiras?

Sendo a e b números reais, considere as afirmações a seguir.

I) Se a < b então - a > -b .

II) Se a > b então 1/a < 1/b .

III) Se a < b então a² < b² .

Quais estão corretas?

Considere uma sequência ( a₁, a₂, ... ,a_n, ...) de números reais, tal que a_k = a_k-1 + 2a_{k - 2} para todo k ≥3.

Se a₁₀ = 291 e  a₈ = 75 , então a₆ é igual a  

Beatriz, Carla, Fernanda e Paula estavam conversando sobre suas notas no teste de Cálculo 3. Beatriz foi a única que mostrou sua nota às demais. Ao ver a nota de Beatriz, as outras afirmaram:

Carla: “Pelo menos duas de nós tiraram a mesma nota”.

Fernanda: “Eu não tirei a maior nota”.

Paula: “Eu não tirei a menor nota”.

Supondo que as três disseram a verdade e que se basearam apenas no conhecimento da própria nota e da de Beatriz, a sequência das três, em ordem crescente de suas notas, é

Alice, Bia, Cris, Dedé e Elis realizam tarefas diferentes na sequência de fabricação de um produto. Sabe-se que

•     a tarefa realizada por Cris deve ser feita depois que já tenha sido concluída a tarefa realizada por Bia;

•     a tarefa realizada por Elis deve ser feita antes que já tenha sido concluída a tarefa realizada por Bia;

•     a tarefa realizada por Dedé deve ser feita depois que já tenha sido concluída a tarefa realizada por Alice;

•     a tarefa realizada por Bia deve ser feita antes que já tenha sido concluída a tarefa realizada por Dedé.

Considerando-se apenas essas pessoas, tarefas e condições, o total de ordenações possíveis das cinco tarefas é igual a

Considere três números inteiros cuja soma é um número ímpar. Entre esses três números, a quantidade de números ímpares é igual a

Dentre os candidatos que fizeram provas de matemática, português e inglês num concurso, 20 obtiveram nota mínima para aprovação nas três disciplinas. Além disso, sabe-se que:

I. 14 não obtiveram nota mínima em matemática;

II. 16 não obtiveram nota mínima em português;

III. 12 não obtiveram nota mínima em inglês;

IV. 5 não obtiveram nota mínima em matemática e em português;

V. 3 não obtiveram nota mínima em matemática e em inglês;

VI. 7 não obtiveram nota mínima em português e em inglês e

VII. 2 não obtiveram nota mínima em português, matemática e inglês.

A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi

Uma criança possui 6 blocos de encaixe, sendo 2 amarelos, 2 vermelhos, 1 verde e 1 azul.

Usando essas peças, é possível fazer diferentes pilhas de três blocos. A seguir, são exemplificadas quatro das pilhas possíveis.

Utilizando os blocos que possui, o total de pilhas diferentes de três blocos, incluindo as exemplificadas, que a criança pode fazer é igual a