Considere M uma matriz quadrada de ordem 4, cujos elementos são números reais. Se det(M) = 0 , ou seja,

Pode-se afirmar que o resultado da equação é:

Sobre as transformações lineares, considere: V e U dois espaços vetoriais sobre K (K = ℝ ou K = ℂ) e uma transformação linear F :V → U . Analise as seguintes asserções:

I - Um isomorfismo de V sobre U é uma transformação linear bijetora V sobre U;

II - F é singular, se existe v ∈ V sendo v ≠ 0 , mas F(v) = 0;

III - O posto de F, (p (F)), é definido como sendo a dimensão de sua imagem;

IV - Um operador linear sobre V é uma transformação linear de V em V;

V - Se U = V e dim(V) < +∞, temos que: F é inversível ⇔ F é singular ⇔ F é sobrejetora.

Acerca dessas asserções, assinale a afirmativa CORRETA:

Nessas condições, julgue as seguintes asserções:

I - L(S) é um subespaço de V que contém S;

II - Existe um único subespaço de V que contém S, que contém );

III - L(S) está contido em todo subespaço de V que contém S;

IV- O vetor nulo de V pertence a S.

Acerca dessas asserções, assinale a afirmativa CORRETA:

Sobre a transformação linear T : M (2,2) → ℝ⁴ , dada por

É CORRETO dizer que:

Considere as asserções:

I. A função ƒ: ℝ → ℝ, definida por ƒ(x) = 2x - 5 tem como função inversa ƒ^-1: ℝ → ℝ, definida por .

II. A função ƒ: ℝ - {3} → ℝ — {-1}, definida por admite a função inversa ƒ: ℝ - {3} → ℝ — {-1 } por .

III. A função ƒ: [0, +∞) → [0, +∞), definida por ƒ(x) =x² tem como inversa a função g: [0, +∞) → [0, +∞), dada por g(x) = √x .

IV. A função ƒ: ℝ → ℝ, definida por y = 2x - 5 tem como inversa a função ƒ^-1: ℝ → ℝ , definida por .

Acerca dessas asserções, assinale a afirmativa CORRETA:

Considere n ∈ ℕ , n ≥ 1 . O valor de S pode ser dado por:

S = 1 .1² + 3.2² + 5.3² + 7.4² + ••• + (2. n - 1). n²

Considere as seguintes definições acerca das cônicas A, B e C:

I - Definição da Cônica A: Sejam F₁ e F₂ dois pontos pertencentes a um plano π. O lugar geométrico do ponto P pertencente a π, cujo módulo da diferença das distâncias de P a F₁ e P a F₂ é igual a uma constante r, com r menor que a distância entre F₁ e F₂, é chamado de A de focos F₁ e F₂, ou seja,

A = {P: |d(P,F₁) - d(P,F₂)| = r}

II - Definição da Cônica B: Sejam F₁ e F₂ dois pontos pertencentes a um plano π. O lugar geométrico do ponto P pertencente a π, onde a soma das distâncias de P a F₁ e P a F₂ é igual a uma constante r, com r maior que a distância entre F₁ e F₂, é chamado de B de focos F₁ e F₂, ou seja,

B={P : d(P , F₁) + d(P ,F₂) = r}

III- Definição da Cônica C: Sejam uma reta e F um ponto do plano não pertencente a . O lugar geométrico C de foco F e diretriz é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância ao ponto F é igual a sua distância a reta , ou seja,

C ={P : d (P, F) = d(P, )}

De acordo com as definições acima, é correto dizer que:

Sejam X ⊂ ℝ um conjunto de números reais, ƒ: X → ℝ uma função real cujo domínio é X e a ∈ X ' um ponto de acumulação do conjunto X. Negar que o número real L é limite de ƒ(x) quando x tende para a , equivale a dizer que:

I - ∀ ∈ > 0 ∃δ > 0; x ∈ X, 0 < | x — a| < 8 ⇒ |ƒ(x) — L| < ∈.

II - Existe um número ∈ > 0 com a seguinte propriedade: seja qual for δ > 0, pode-se sempre achar x_δ ∈ X tal que 0 < |x_δ — a| < δ e |ƒ(x_δ) — L| ≥ ∈.

III - ∀∈ ≥ 0 ∃δ ≥ 0; x ∈ X, 0 ≤ |x — a| ≤ δ ⇒ |ƒ(x) — L| ≤ ∈.

IV - Existe um número ∈ ≥ 0 com a seguinte propriedade: seja qual for δ ≥ 0, pode-se sempre achar x_δ ∈ X tal que 0 ≤ |x_δ — a| ≤ δ e |ƒ(x_δ) — L| ≤ ∈.

Pode-se concluir que:

Considere que x = x₀ e y = y₀ seja a solução do sistema de equações lineares:

Nesse caso, se x₀ e y₀ são os dois primeiros termos de uma progressão geométrica crescente, então, o terceiro termo dessa progressão será igual a:

Numa progressão geométrica de razão q, sabe-se que:

I - A soma dos logaritmos naturais dos três primeiros termos é igual a 36;

II - O produto do logaritmo natural do primeiro termo com o logaritmo natural da razão é 27.

Se é um número inteiro, então o termo a_2.019, vale: