Questões de Concurso Sobre matemática para cesgranrio

Seja a função , onde b é constante. Qual é a transformada de Fourier de f(t)?

Dado

Seja a função cuja transformada de Fourier é dada por

Seja, também, . A convolução entre f e g é dada por

Sendo assim, H(x) é igual a

Seja a função periódica F(x), de período L = 5, definida sobre todo o eixo dos reais:

para -5/2 < x < 0: F(x) = -2 ;

para x = 0, F(x) = 0;

para 0 < x < 5/2: F(x) = 2 .

O desenvolvimento em série de Fourier para a função acima é

Se δ(x - a) é a notação para a função delta de Dirac, o valor da integral será

A função logaritmo natural, definida nos complexos, é dita plurívoca, pois, para cada complexo z, LN(z) assume diversos valores complexos. Se, por outro lado, restringem-se os valores dos argumentos de z no intervalo de -π a π, tem-se a função ln(z) chamada logaritmo principal do complexo z, com argumento no intervalo restrito.

Se i é a unidade imaginária, qual o valor de ln(i)?

Sejam z e w números complexos em que z² - w² = 7 + i. Se a diferença entre os conjugados de z e w é dada pelo complexo 1 + 2i, o complexo é

Seja um vetor cujas componentes são dadas, em função de t, por

O módulo desse vetor, quando está na posição vertical (sobre o eixo das ordenadas) é

Seja o sistema de equação linear:

Quantos são os valores do parâmetro a que levam o sistema a possuir infinitas soluções?

Uma câmara dos sussurros é um espaço em que, se duas pessoas estão nas posições especificadas como foco, elas podem falar entre si, mesmo sussurrando, a uma distância considerável. Isso porque os painéis colocados atrás delas são partes de uma mesma elipse cujos focos são as posições das cabeças das pessoas.

Na câmara de sussurros representada na Figura a seguir, a distância entre as duas pessoas é de 20 m, e a distância de cada pessoa até um vértice da elipse é de 2 m.

A equação da elipse que contém os painéis da câmara representada no sistema de eixos proposto na Figura é

Sejam  =ℝ² → ℝ² o campo vetorial definido por (x,y) =(P (x,y) , Q (x,y)) =  (e^y - 3x²y² + 6x , xe^y - 2x³ y -1) e α : [a,b] → ℝ² uma curva simples diferenciável, tal que α(a) = (0, 1) e α(b) = (1,0).

A integral de linha   vale

Seja f a função definida por

Dentre todos os vetores unitários , qual é aquele para o qual a derivada direcional assume o seu maior valor?

Um sistema cartesiano de coordenadas (xy) foi disposto sobre um grande terreno plano. Nesse terreno, passam os trilhos da rede ferroviária, que foram modelados pela reta cuja equação é dada por 2x + y = 3. O ponto P(1,3) será utilizado como base de realização de uma importante medição, o que exigirá dos engenheiros a determinação de um ponto, sobre os trilhos, que esteja mais próximo do ponto P.

Qual é o ponto da reta 2x + y = 3 que está mais próximo do ponto P (1,3)?

Qual é o valor da integral definida ?

Seja f:ℝ^*₊ → ℝ a função definida por f(x)=x³.ln(x).

Qual é o valor mínimo assumido pela função f?

Um professor elaborou 10 questões diferentes para uma prova, das quais 2 são fáceis, 5 são de dificuldade média, e 3 são difíceis. No momento, o professor está na fase de montagem da prova. A montagem da prova é a ordem segundo a qual as 10 questões serão apresentadas. O professor estabeleceu o seguinte critério de distribuição das dificuldades das questões, para ser seguido na montagem da prova:

De quantas formas diferentes o professor pode montar a prova seguindo o critério estabelecido?

Uma professora do jardim da infância entregou um mesmo desenho para cada um de seus 10 alunos e distribuiu vários lápis de cor entre eles. A tarefa era pintar o desenho, que possuía diversas regiões. Cada uma dessas regiões apresentava a cor com a qual deveria ser pintada. Todos os alunos receberam a mesma quantidade de lápis de cor, mas nenhum aluno recebeu todas as cores necessárias para pintar todo o desenho e, portanto, eles precisavam se agrupar para conseguir completar a tarefa. Formando qualquer grupo de 6 alunos, uma região não poderia ser pintada, mas qualquer grupo de 7 alunos conseguiria completar a tarefa. Todas as regiões deveriam receber cores diferentes, e a professora distribuiu o menor número de lápis de cor para cada aluno.

Quantos lápis de cor cada aluno recebeu?

Numa amostra de 30 pares de observações do tipo (x_i , y_i ), com i = 1, 2, ..., 30, a covariância obtida entre as variáveis X e Y foi -2. Os dados foram transformados linearmente da forma (z_i , w_i ) = (-3x_i + 1 , 2y_i + 3), para i = 1, 2, ..., 30.

Qual o valor da covariância entre as variáveis Z e W transformadas?

Uma empresa cria uma campanha que consiste no sorteio de cupons premiados. O sorteio será realizado em duas etapas. Primeiramente, o cliente lança uma moeda honesta:

se o resultado for “cara”, o cliente seleciona, aleatoriamente, um cupom da urna 1;

se o resultado for “coroa”, o cliente seleciona, aleatoriamente, um cupom da urna 2.

Sabe-se que 30% dos cupons da urna 1 são premiados, e que 40% de todos os cupons são premiados.

Antes de começar o sorteio, a proporção de cupons premiados na urna 2 é de

Uma sequência numérica tem seu termo geral representado por a_n , para n ≥ 1. Sabe-se que a₁ = 0 e que a sequência cujo termo geral é b_n = a_n+1 - a_n , n ≥ 1, é uma progressão aritmética cujo primeiro termo é b₁ = 9 e cuja razão é igual a 4.

O termo a₁₀₀₀ é igual a