Se uma variável aleatória X possui uma distribuição gama com parâmetros α ≥ 1 e β > 0 apresentando uma função geradora de momentos igual a M(t) = (1 − βt)^−α, sendo 0 < t < 1/β, então o módulo da diferença entre o quadrado da esperança de X e a variância de X é

O processo de elaboração do Orçamento Público do Brasil, em sentido amplo, é um documento aprovado por lei (legal), que tem por objetivo essencial melhorar aplicação dos recursos públicos. Em relação ao conceito do Orçamento Público, analise as assertivas abaixo, assinalando V, se verdadeiras, ou F, se falsas.

( ) É aprovado para um determinado exercício financeiro.

( ) Se configura pela fixação de receitas e fixação de despesas.

( ) A Lei da sua elaboração é uma ação do Poder Legislativo.

( ) É uma ferramenta que estima receitas e fixa despesas.

A ordem correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é:

Sendo X uma variável aleatória com distribuição Binomial, suponha que seja de interesse testar a hipótese H₀ : p = 0,8 contra a hipótese H₁ : p < 0,6, sendo α = 0,03 . fixado. Assinale a alternativa que apresenta o erro tipo ll, ß, para uma amostra de 10 sujeitos e H₁ : p = 0,6.

Seja X₁,…,X_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição Poisson (λ). Suponha que queremos testar as seguintes hipóteses
H₀: λ=λ0 vs H1: λ<λ₀
No Teste da Razão de Verossimilhança Generalizado (TRVG), escolhemos uma região crítica de tal forma que L₁ / L₀ > k, onde L₁ é a verossimilhança sob H₁ e L₀ é a verossimilhança sob H₀ . Para o caso das hipóteses e distribuição do enunciado, um teste mais poderoso tem região crítica da seguinte forma.

Para uma determinada profissão, sabe-se que o salário é uma variável aleatória que possui distribuição Normal com média R$ 5.000,00 e um desvio padrão de R$ 800,00. Nesse caso, qual é a probabilidade de que um salário seja maior que R$ 7400,00?

Suponha que A seja a variável aleatória da quantidade (centenas) mensal de novos atendimentos feitos pela Defensoria Pública, sendo uma série estacionária.

A distribuição de probabilidades de A não é conhecida, mas sabe-se que E(A) = 7 e Var(A) = 4.

Apesar da pouca informação, é correto estabelecer que:

Seja a variável aleatória bidimensional (X,Y) que tem distribuição uniforme no quadrado 0 < x < 1 e 0 < y < 1 e Zero fora dele. Por uma transformação linear é definida a v.a. bidimensional (Z,W) da seguinte maneira:

Z = X + Y e W = X – Y

Então, sobre essa outra variável bidimensional, é correto afirmar que:

Considere Y uma variável aleatória positiva tal que E(Y) = 8 e Var(Y) = 36. A partir dela são definidas outras duas variáveis, quais sejam:

Z = Y² e W = ∛Y

Então, sobre a esperança matemática E[Z – W], é correto afirmar que:

Um processo auto regressivo de ordem p, AR(p), pode ser escrito da forma:

X_t = ∅₀ + ∅₁X_{t − 1} + ∅₂X_{t − 2} + ... + ∅_pX_{t − p} + ε_t onde ∅₀, ∅₁, ..., ∅_p são parâmetros reais e ε_t uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com E(ε_t ) = 0 e var(ε_t ) = σ².

Corresponde a um processo AR(p) estacionário:

O tempo médio de tramitação de um recurso (inicial até a baixa) na segunda instância de um Tribunal Regional do Trabalho é de 8 meses. Admita que o tempo de tramitação seja uma variável aleatória exponencialmente distribuída. Um recurso acaba de completar nove meses no Tribunal e, nesse caso, a probabilidade de que a tramitação exceda 10 meses é

Para o caso de variáveis aleatórias quaisquer, existem diversas propriedades que se aplicam diretamente à esperança matemática e ao momento central de segunda ordem.

Dentre essas propriedades está:

Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional que em dada amostra assumiu o seguinte conjunto de valores:

(1,16), (5,8) e (9, 3)

PS: Use, nos cálculos, √43 ≅ 6,5 .

Logo, a estimativa para o coeficiente de correlação de Pearson para o par (X, Y) obtido pelo método dos momentos será aproximadamente:

Sejam X e Y variáveis aleatórias do tipo Bernoulli, assumindo valores  x₁, x₂, y₁ e y₂ respectivamente. Também é sabido que P(X = x₁ / Y = y₂ ) = 0,60 e P(Y =y₁ )= 0,75.

Então:

Sejam X_₁ e X_₂ duas variáveis aleatórias independentes, ambas com média μ e variância 25. Como μ é desconhecida construiuse um estimador T para μ, sendo m e n parâmetros reais, ou seja: T = (m − 1)X_₁ − nX_₂. Considerando que T caracteriza uma classe de estimadores não viesados de μ, então o estimador desta classe mais eficiente verifica-se quando m for igual a

Seja X uma variável aleatória mista com função densidade de probabilidade dada por:

f_x(x) = 1/x² para 1< x ≤ 4 , P(X = 1 ) = 0,25, sendo igual azero caso contrário.

Então os valores de P ( X ≤ 2 ) e E (X²) , esperança matemática de X ao quadrado, são respectivamente iguais a:

Sejam Y, X, Z e W variáveis aleatórias tais que Z = 2.Y - 3.X, sendo E(X² ) = 25, E(X) = 4, Var (Y) =16, Cov(X,Y)= 6.

Então a variância de Z é:

O sucesso, S, em certo procedimento cirúrgico, tem uma probabilidade de 0,95. O resultado do procedimento é um evento aleatório dicotômico podendo ocorrer somente sucesso ou insucesso e pode ser representado pela variável aleatória X. Assim, o nome da distribuição de probabilidade relacionada com essa variável aleatória e a sua função de probabilidade são, respectivamente:

Seja X_i a variável aleatória que representa o custo mensal da empresa, em unidades monetárias, devido à ocorrência do i-ésimo acidente de trabalho. Seja , o custo total mensal (em unidades monetárias) da empresa devido à ocorrência de acidentes de trabalho, sendo X_i variáveis aleatórias independentes com distribuição uniforme no intervalo (40;200). Suponha que N seja uma variável aleatória independente de X_i, para todo i, com distribuição dada como em (2): 


Seja Y₀ =0_.
Nesse caso, pode-se afirmar que o custo mensal médio, em unidades monetárias, devido à ocorrência de acidentes de trabalho na empresa é igual a

Seja X uma variável aleatória normal bivariada com vetor de médias e matriz de covariâncias dadas, respectivamente, por:



Sejam os vetores A = (2 , 0) e B = (1 , 1). Nessas condições, é verdade que a distribuição de