Seja X uma variável aleatória mista com função densidade de probabilidade dada por:

f_x(x) = 1/x² para 1< x ≤ 4 , P(X = 1 ) = 0,25, sendo igual azero caso contrário.

Então os valores de P ( X ≤ 2 ) e E (X²) , esperança matemática de X ao quadrado, são respectivamente iguais a:

Suponha que o número de chegada de pessoas a uma fila é uma variável aleatória, cuja média, proporcional ao tempo, é de seis pessoas por hora. As chegadas são independentes e a probabilidade de que duas pessoas cheguem à fila num mesmo segundo é nula. Logo, uma aproximação para a probabilidade de que duas pessoas entrem na fila no período de meia hora é:

A presente prova de estatística está sendo aplicada a uma população de candidatos composta por 70% de indivíduos bem preparados, 20% de medianos e 10% de insuficientes. Os mais aptos têm probabilidade de 80% de acertar qualquer questão, sendo essa probabilidade 25% menor no caso dos medianos e outros 50% menor no caso dos insuficientes, com relação aos medianos. Um candidato é escolhido ao acaso. A probabilidade de que ele acerte determinada questão é de:

Sejam X, Z e W variáveis aleatórias tais que, Var (W) = 16, ρ(X,Z) = 1,    Var (3.Z + 2 .X) = 144, Cov(W,Z) = 4 e ρ(W,Z)=0,5.

Então a variância de X é: 

Existem dois métodos relativamente usuais para identificar, num conjunto de dados, valores não aderentes, denominados outliers. Um deles utiliza uma distribuição teórica, enquanto o outro emprega duas medidas descritivas, uma de posição e outra de dispersão. A propósito:

A partir de uma amostra de tamanho 2n+1, sendo n um número inteiro, elaborou-se a distribuição de frequência de tal forma que apenas os dados grupados ficaram disponíveis. Apesar disso, é possível determinar com certeza a classe à qual pertence o valor exato:

Considere a distribuição de frequências abaixo, apresentada de forma incompleta, sabendo-se não haver valores iguais aos extremos dos intervalos de classe.

Entretanto, antes de se perder o registro de Y, e trabalhando sempre com os dados grupados, a média da distribuição foi calculada, sendo igual a 25. Apesar disso, é correto afirmar que: 

As principais medidas de dispersão utilizadas na estatística são a amplitude (A), a variância (Var), o desvio padrão (DP), o coeficiente de variação (CV) e o desvio-interquartílico (DI).

Sobre o tema, é correto afirmar que:

Sejam x₁,x₂,x₃,x_4....x_n determinações distintas de variáveis representativas de uma amostra de tamanho n com média igual a Além disso, sabe-se que sua moda, Mo (x_i) , é o dobro da média. Sendo Var (x_i) a variância, é correto afirmar que:

As médias harmônica (H), geométrica (G) e aritmética (A) de dois números x₁ e x₂ positivos quaisquer mantem entre si uma relação. Nesse sentido, pode-se garantir que:

Adotando-se para as estatísticas de posição de uma dada distribuição de frequências as convenções, Q_K = Quartil de ordem k, D_K = Decil de ordem k, Qt_K = Quintil de ordem k e P_K = Percentil de ordem k, é correto afirmar que:

Sejam Y, X, Z e W variáveis aleatórias tais que Z = 2.Y - 3.X, sendo E(X² ) = 25, E(X) = 4, Var (Y) =16, Cov(X,Y)= 6.

Então a variância de Z é:

Após a extração de uma amostra, as observações obtidas são tabuladas, gerando a seguinte distribuição de frequências:

Considerando que E(X) = Média de X, Mo(X) = Moda de X e Me(X) = Mediana de X, é correto afirmar que:

Com relação à definição das medidas de tendência central e de variabilidade dos dados em uma estatística, assinale a opção correta.

Suponha que a CASAN contrate um economista como consultor para mensurara relação existente entre a ampliação do saneamento básico e o tratamento de efluentes com a redução da mortalidade infantil. O consultor propõe o modelo a seguir:

Nesse modelo, ln Mortalidade infantil_t e ln ASANEFLU_t são, respectivamente, o logaritmo da mortalidade infantil e da ampliação do saneamento básico e o tratamento de efluentes no período  são variáveis de controle; são os coeficientes da regressão; u_t é o termo de erro aleatório.

Considerando que a transformação logarítmica é estacionária para todas as variáveis da equação, é possível verificar que:

Ao se realizar um estudo a respeito das falhas, decorrentes em um determinado tipo de avião, observou-se que a distribuição dessas falhas representada por X é normalmente distribuída com média μ = 5 e variância σ² = 1,5. Devido aos altos custos incorridos na realização desta análise, observou-se que o estudo poderia ser generalizado, assumindo que os outros cinco tipos de aviões possuem a mesma distribuição normal. Desse modo, ao se agregar todos os seis tipos de aviões, pode-se concluir que a variável Y obtida desta agregação terá a seguinte média e desvio-padrão (μ_y e σ_y ):

Sejam Z₁ e Z₂ duas variáveis randômicas normais unitárias. Sejam ainda X₁ e X₂ variáveis randômicas que são obtidas do seguinte modo:

X₁ =1,5 Z₁ +1,2 Z₂ + 3

X₂ =1,3 Z₁ +0,9 Z₂ + 5

Pode-se então dizer que as variáveis randômicas X₁ e X₂ têm distribuições normais multivariadas com as seguintes médias e variâncias:

O desvio-padrão de uma população é conhecido e igual a 20 unidades. Se uma amostra de cem elementos, retirada dessa população, forneceu uma média de X_Média = 115,8, pode-se afirmar que a média dessa população é inferior a 120 unidades, ao nível de 5% de significância, testando a Hipótese:

H₀ , µ = 120

H₁ , µ < 120

Assinale a opção correta, baseada nos dados acima.

Os valores a seguir representam uma amostra

3 3 1 5 4 6 2 4 8

Então, a variância dessa amostra é igual a

Os valores a seguir representam a quantidade de aviões que decolaram por hora durante as 10 primeiras horas de certo dia.

33 34 27 30 28 26 34 23 14 31

Logo, levando em consideração somente essas 10 horas, pode-se afirmar corretamente que