Suponha que uma amostra de tamanho n = 5 é extraída de umapopulação Normal, com média desconhecida, obtendo asseguintes observações: 

X₁ = 3, X₂ = 5, X₃ = 6, X₄ = 9 e X₅ = 12

São dados ainda os seguintes valores, retirados da tabela da distribuição Qui-Quadrado:  

Se a população tem variância verdadeira σ² = 4 em nova amostra (n=5), a probabilidade de se observar uma variância amostral maior do que a anterior é de: 

Caso X1,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com distribuição de probabilidade normal, média 0 e desvio padrão 1 e se S=X12=X22=...=Xn2, então S terá distribuição de probabilidade 

Sejam X₁, X₂, ... , X_n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição normal padrão. Sejam as variáveis aleatórias:
Considere: I. A função geratriz de momentos de Y, quando n = 2, é m(t) = e^2t . II. A variável W tem distribuição qui-quadrado com (n − 1) graus de liberdade. III. A variável V tem distribuição F de Snedecor com graus de liberdade 2 e n. IV. Para n = 4, P(− 2 < Y < 1) = 0,432. Está correto o que consta APENAS em

Leia o texto a seguir para responder à questão.

            O Sr. Manoel comprou uma padaria, e foi garantido o fatu ramento médio de R$ 1.000,00 por dia de funcionamento. Durante os primeiros 16 dias, considerados como uma amostra de 16 valores da população, obteve-se o faturamento médio de R$ 910,00 e desvio padrão de R$ 80,00.
            Sentindo-se enganado pelo vendedor, o Sr. Manoel entrou com ação de perdas e danos. O juiz sugeriu, então, efetuar o teste de hipótese, indicado ao nível de significância de 5% para confirmar ou refutar a ação.

Para o mesmo caso, o vendedor ainda havia informado que o desvio padrão do faturamento era de R$ 50,00 e que isso era uma vantagem da empresa, pois a variabilidade era pequena. Ao se fazer o teste H₀ : σ ² = 2 500, contra a hipótese H₁ : σ ² > 2 500 com nível de significância de 5%, é correto afirmar que o teste indicado é

Durante uma semana, observa-se a quantidade de determinadas ocorrências, esperando que diariamente ocorram 20 destes tipos de ocorrências. Para esta análise, foram levantados os seguintes dados em uma semana escolhida aleatoriamente: 

     
Deseja-se saber, ao nível de significância de α, se as frequências são iguais em todos os dias da semana, utilizando o teste do qui-quadrado. Foram formuladas as hipóteses H₀: as frequências são iguais em todos os dias da semana (hipótese nula) e H₁: as frequências são diferentes. 

Observação: o valor crítico do qui-quadrado tabelado da distribuição qui-quadrado, ao nível de significância de α e com o respectivo número de graus de liberdade do teste, apresentou um valor superior ao valor do qui-quadrado observado.

O valor do qui-quadrado observado é

Um geneticista acredita que a cor dos olhos, classificada em três categorias (preto, marrom, verde/azul), ocorre, respectivamente, com as seguintes porcentagens: 30%, 50% e 20%. Uma amostra aleatória de 200 pessoas revelou as seguintes frequências de olhos pretos, marrons e verdes/azuis, respectivamente: 80, 90 e 30. 
A estatística qui-quadrado usual para testar se a hipótese do geneticista está correta é igual a 

Deseja-se pesquisar se existe comparação entre o trabalho infantil nos estados do Rio de Janeiro e São Paulo. Uma amostra de 100 pessoas de cada estado apresentou os seguintes resultados.

Usando um teste qui-quadrado, a um nível de significância de 5%, deseja-se verificar se a proporção verdadeira das pessoas em cada faixa de idades é a mesma nos dois estados.

Pode-se concluir que

    Em uma pesquisa de opinião com 1.000 questionários, foi feita uma tabela de dupla entrada com as variáveis idade e opinião. Os resultados foram:


O valor crítico de Qui-quadrado para rejeitar a independência das variáveis com nível de significância de 5% é aproximadamente:

    Em uma pesquisa de opinião com 1.000 questionários, foi feita uma tabela de dupla entrada com as variáveis idade e opinião. Os resultados foram:


O valor do Qui-quadrado é aproximadamente:

Componentes eletrônicos são vendidos em caixas com cinco unidades. Deseja-se verificar se o número X_i de componentes defeituosos em uma caixa tem distribuição Binomial. Para isso, uma amostra de 100 caixas foi analisada e X_i foi observado. Em seguida, a probabilidade de um componente ser defeituoso foi estimada como .Satisfeitos os devidos requisitos, o teste Qui-Quadrado para aderência de uma distribuição foi então aplicado. Sob a hipótese nula de aderência, a estatística do teste aplicado tem distribuição aproximadamente Qui-Quadrado com quantos graus de liberdade?

Em 3 empresas M, N, e P são extraídas, independentemente, amostras aleatórias entre seus empregados de tamanho 50 em M, 200 em N e 250 em P. Foi perguntado a todos qual, entre 3 planos de carreira propostos, eles preferem e cada um deu somente uma resposta. O resultado pode ser observado pela tabela abaixo.

                 
Deseja-se saber se a preferência pelo plano de carreira depende da empresa, utilizando o teste qui-quadrado, a um determinado nível de significância α, desconsiderando a correção de Yates e obtendo as respectivas frequências esperadas pela tabela sem que tenha de estimar quaisquer parâmetros populacionais por meio de estatísticas amostrais.

Dados: valores críticos da distribuição qui-quadrado [P(qui-quadrado com n graus de liberdade < valor tabelado) = (1-α)]

É correto afirmar que

Em um levantamento realizado em uma grande empresa com 400 de seus empregados, escolhidos aleatoriamente, obteve-se a seguinte tabela com relação à preferência por 4 candidatos X, Y, Z e T para presidente do sindicato.



Deseja-se testar com base nesta tabela, utilizando o teste qui-quadrado, as seguintes hipóteses:

H₀: não há discrepância entre as frequências observadas e esperadas (hipótese nula).
H₁: as frequências observadas e esperadas são discrepantes (hipótese alternativa).



Uma conclusão correta é que