Em uma aula prática de Análise e Implementação de Controladores Discretos, um docente apresenta aos estudantes o projeto de um controlador digital utilizando a técnica de projeto discreto direto no plano z. Para representar adequadamente a interface física entre o computador e o processo, a planta contínua foi discretizada utilizando o método do segurador de ordem zero (ZOH), obtendo-se o equivalente discreto:

A partir desse modelo, projetou-se um controlador digital para satisfazer requisitos de estabilidade e desempenho transitório. A lei de controle resultante, pronta para ser programada em um microcontrolador com período de amostragem T = 0,5s, é dada pela seguinte equação a diferenças:

u[k] = u[k − 1] + 3e[k] − e[k − 1],

em que e[k] representa o sinal de erro amostrado e u[k] o sinal de controle aplicado à planta no instante atual.

Considerando que a malha de controle possui realimentação unitária negativa, analise as seguintes afirmações.

I - A função de transferência do controlador no domínio z é

II - O controlador apresenta um polo em z = 1, o que indica que ele é assintoticamente estável, pois a condição de estabilidade é |z_p| ≤ 1.

III - O uso do ZOH na discretização da planta é importante porque modela o comportamento do conversor digital-analógico (D/A), que mantém a tensão constante entre os instantes de amostragem.

IV - Como a planta discretizada possui polo em z = 0,75, o sistema em malha fechada terá erro estacionário nulo para uma entrada em degrau, independentemente da ação do controlador.

Quais estão corretas?

No estudo da estabilidade de sistemas lineares, a análise da resposta em frequência permite avaliar como variações de ganho influenciam a estabilidade relativa do sistema. Assim, considere a função de transferência em malha aberta

Para fins de análise por meio dos diagramas de Bode, considera-se a aplicação de um ganho proporcional K = 10, resultando na função de transferência em malha aberta KG(s). A Figura 8 apresenta os diagramas de Bode de G(s) e KG(s), destacando as frequências de cruzamento de ganho (ω_gc1 e ω_gc2) no diagrama de magnitude e os correspondentes pontos no diagrama de fase, utilizados na determinação da margem de fase (Φ_M).

Figura 8 – Diagramas de Bode dos sistemas G(s) e KG(s). 

Com base na função de transferência apresentada, nos diagramas de Bode da Figura 8 e nos efeitos da aplicação do ganho proporcional sobre a resposta em frequência desse sistema, assinale a alternativa correta.

Considere o sistema de controle em malha fechada com realimentação unitária negativa apresentado na Figura 7.

Figura 7 – Sistema de controle em malha fechada com realimentação unitária negativa.

A planta do sistema é dada por: 

Em que C_i é um controlador, cujos ganhos satisfazem K_p > 0, K_i > 0, em que K_d, K_i e K_d representam, respectivamente, os ganhos proporcional, integral e derivativo. Admita que todos os sistemas em malha fechada sejam assintoticamente estáveis. Considere os seguintes controladores para C_i.

Assinale a alternativa que classifica corretamente os sistemas quanto ao seu tipo e ao erro em regime permanente.

A Figura 5 apresenta o Lugar Geométrico das Raízes (LGR) de um sistema de controle em malha fechada para valores crescentes do ganho K.

Figura 5 – Lugar Geométrico das Raízes do sistema.

O diagrama de blocos correspondente é apresentado na Figura 6.

Figura 6 – Sistema de controle em malha fechada com realimentação unitária negativa.  

Considerando a variação do ganho K, assinale a alternativa que apresenta corretamente o ganho crítico K_cr, no qual o sistema atinge o limite de estabilidade e passa a apresentar oscilações sustentadas, bem como a respectiva frequência angular dessas oscilações.

Considere um sistema dinâmico cuja entrada u(t) é uma tensão elétrica e a saída y(t) é uma variável de processo em velocidade. Para identificar a dinâmica desse sistema, foi realizado um ensaio em malha aberta, aplicando-se um degrau de amplitude 40 V no instante t = 15 s. A resposta temporal da saída é apresentada na Figura 3.

Figura 3 – Resposta ao degrau do sistema.  

Considere ainda que:

1) O sistema pode ser representado por um modelo linear de primeira ordem;

2) Observa-se, na Figura 3, que o valor final da saída é de 40 rad/s;

3) O sistema atinge o tempo de assentamento, segundo o critério de 2%, no instante t = 35 s.

Assinale a alternativa que determina a função de transferência em malha aberta que relaciona Y(s) à entrada U(s).

A Figura 2 apresenta um sistema de controle em malha fechada.

Figura 2 – Diagrama de blocos de um sistema de controle.

 

Considerando R(s) como o sinal de referência (setpoint) e Y(s) como a saída do sistema, assinale a alternativa que representa corretamente a função de transferência equivalente entre a entrada e a saída do sistema, ou seja, H(s) = Y(s)/R(s).

Considere um sistema de controle em malha fechada com realimentação unitária, cuja função de transferência em malha aberta é dada por:
                                                                                        

Deseja-se analisar o erro em regime permanente para uma entrada do tipo degrau unitário r (t) = u(t). Diante desse contexto, assinale a alternativa correta.  

A análise de sistemas dinâmicos permite prever o comportamento de processos físicos, sendo a linearização uma técnica comum para tratar sistemas não lineares em torno de um ponto de operação. No estudo da estabilidade absoluta, um critério específico é utilizado para determinar se um sistema de malha fechada apresenta oscilações sustentadas ou instabilidade com base em sua resposta em malha aberta, considerando o plano complexo. Acerca desse contexto, assinale a alternativa correta.

Na análise de estabilidade de sistemas lineares e invariantes no tempo, a localização dos polos da função de transferência no plano complexo é determinante. Assinale a alternativa correta.

Em engenharia de controle, diferentes métodos são usados para analisar o comportamento de sistemas lineares e para projetar controladores. Um desses métodos é o lugar das raízes, que fornece informações valiosas sobre a resposta dinâmica do sistema, em função do ganho de realimentação. Nesse contexto, o método do lugar das raízes permite analisar:

Em engenharia de controle, sistemas lineares são frequentemente analisados no domínio de Laplace para simplificar a resolução de equações diferenciais. A função de transferência de um sistema linear é definida como:

Considere o seguinte sistema SISO representado na forma de espaço de estados: 

A representação deste mesmo sistema em função de transferência é

Considere a expansão em frações parciais da função de transferência G(s) = (s+5)/(s² + 7s + 12) em termos de primeira ordem da forma A₁/(s+p₁) + A₂/(s+p₂) em que -p₁ e -p₂ são os polos de G(s) e A₁ e A₂ são os respectivos coeficientes dos termos da expansão.
O valor do coeficiente correspondente ao polo de maior valor absoluto é

Considere um sistema de controle digital cuja função de transferência do sistema em malha aberta é dada pela seguinte expressão: 
G(z) = z - 0,5 / z - 0,9 

O erro em regime permanente desse sistema a uma entrada degrau é, aproximadamente 

Com base no diagrama de blocos mostrado na figura a seguir, identifique a função de transferência da entrada de referência  ^{r (k)} e de perturbação ^{v (k)} para a saída ^{y (k)} .



A função de transferência correta é

Observe a equação abaixo.

Em relação ao sistema dinâmico mostrado na equação, assinale V (verdadeiro) ou F (falso) nas afirmativas a seguir.

(__) É assintoticamente estável.

(__) Sua resposta ao degrau é sobreamortecida.

(__) É de fase mínima.

(__) Não é causal.

A sequência correta é

A transformada de Laplace é uma importante ferramenta utilizada na análise de sinais e sistemas. Considere a função f (t) = 2 e ^-3t - e ^-4t.

A transformada de Laplace de f (t) é dada por 

Sabendo que um sistema de controle é um sistema resistor puro com valor de 5 ohms, para uma tensão de v(t) = 10 volts, qual é o valor da corrente no domínio da frequência I(S)?

Analise os diagramas de blocos de três sistemas amostrados conforme abaixo. 

Para análise de sistemas amostrados, é comum obter a função de transferência de malha fechada no domínio z. Sobre a função de transferência C(z) / R(z) dos diagramas de blocos apresentados, é possível afirmar que:

O Teorema da Derivada da Transformada de Laplace estabelece que

Assim sendo,        é igual a