Questões Militares de Matemática - Álgebra Linear - Equações Lineares, Espaço Vetorial e Transformações Lineares e Matrizes

Seja o operador linear T definido a seguir.

T: R²→ R²

^{(x ;y ) → (x + y ; 4x + y)}

O operador T possui autovalores λ₁e λ₂. Assinale a opção que representa λ₁λ₂ - (λ₂)²

Considere a transformação linear T : R³ → R³ , definida por T (x , y, z) = (x + 2y - z, x + y, 2x + 5y - 4z ) então a matriz de T em relação a base canônica do R³ é igual a: 

Considere a base canônica do R³ e sejam A,B,C: R³ → R³ transformações lineares definidas por A(x,y,z) = (3x,3y,3z) , B(x,y,z) = ( x , - y , - z ) e C(x, y, z) = (z, y, - x ) . Considere P o paralelepípedo definido pelos vetores de coordenadas (a, 0,0), (0,b,0) e (0,0, c). Pode-se afirmar que: 

Sejam P₃(R) = (p = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x²; a₀,a_1,a₂,a₃ ∈ R ) e a aplicação linear T : P₃ (R) → P₃ (R) definida por T(p) = p ” + p ' - 2 p onde p", p' representam respectivamente, a segunda e a primeira derivada do polinômio p ∈ P₃(R ) em relação à variável real x . Então

I. Em relação à base { x³,x²,x,1}, T é isomorfismo.

II. A dimensão do espaço imagem de T é igual a 4. 

III. O núcleo de T é o subespaço [ e^x, e^-2x ].

IV. Na base {1,x,x²,x³}, a matriz de T tem traço nulo.

A imagem da transformação linear T(x,y,z) = (x,y,z)X (1,1,1), em que X indica o produto vetorial em R³, é: