A razão entre a área do quadrado inscrito em um semicírculo ...

área do quadrado menor (está inscrito no semicírculo, logo aplicamos pitágoras em função de que o lado deste quadrado forma um ângulo de 90º com metade do lado e consideramos a hipotenusa como o raio do semicírculo) 

R^2 = 1/2.L^2 + L^2
R^2 = 1/4 L^2 +L^2
R^2 = 5/4L^2
L^2 = 4/5.R^2   (área do quadrado menor)

quadrado maior possui a metade da diagonal como raio, logo temos que:

Diagonal = 2R (i)
Diagonal = L \/2   (ii)

subistituindo (ii) em (i)
L \/2 = 2R
L= 2R / \/2 (racionalizando o denominador)
L = R.\/2
conhecemos o lado, agora calculamos a área:
L.L = 2.R^2 (área do quadrado maior)

razão entre o menor e o maior
(4/5.R^2 ) /  (2.R^2)
(4/5.R^2 ) . 1/(2.R^2)
2/5
Bons estudos!