Considere X = {x₁, x₂,..., x₁₀} com x_i  ≠  x_j para todo i, j ∈ {1,...,10} distintos. Deseja-se transmitir a um destinatário uma palavra formada com os caracteres do conjunto X. Para enviá-la de modo sigiloso, uma estratégia é criptografar a palavra trocando cada um de seus caracteres utilizando uma função f : X → X que satisfaça as seguintes propriedades:


I. f (f(x)) = x para todo x ∈ X

II. f (x) ≠ x para todo x ∈ X

Se apenas o remetente e o destinatário conhecem a função, a palavra é transmitida em segurança.

Por exemplo:
caso se escolha f de modo que f (x₁) = x₇, f (x₂) = x₅ e f (x₁₀) = x₃, então


                                                  
                                                                               Adaptado de: google.com


Com base no exposto e nos conhecimentos matemáticos, atribua V (verdadeiro) ou F (falso) às afirmativas a seguir.


(   ) Se f : X →X atende as propriedades I e II, então f é injetora e sobrejetora.


(   ) Se f : X → X é tal que f(x1) = x₅ e f (x₅) = x₂, então f atende as propriedades I e II.


(   )  Se f : X → X atende as propriedades I e II, então f(f(f(x))) = x para todo x ∈ X.


(   )  Existem 105 funções f : X → X com f(x₁) = x₂ e que atendem as propriedades I e II.


(   ) Existem 945 funções f : X → X que atendem as propriedades I e II.



Assinale a alternativa que contém, de cima para baixo, a sequência correta.

Leia o texto a seguir.

Em abril de 1965 o então presidente da Intel, Gordon Earle Moore, supôs que o conhecimento humano e o progresso tecnológico fariam com que a quantidade de transistores, que podem ser colocados em uma mesma área, dobraria a cada 24 meses.

Adaptado de: canaltech.com.br

Um matemático deseja representar geometricamente a suposição de Moore. Ele percebe que o número de transistores N(t), que podem ser colocados em uma mesma área, cresce muito rapidamente quando comparado com o tempo t, medido em anos.

Sendo assim, o matemático esboça o gráfico de y = log₁₀ N(t) com t ∈ {1969,1971,...,2017}.

Sabendo que N (1969) = 1150 e que N (2017) = 19293798400, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o gráfico de y = log₁₀ N(t) com t ∈ {1969,1971,...,2017}.

Durante a crise daCovid-19, muitas famílias se encontraram com dificuldade orçamentária. A família de Darci foi uma dessas. Ele está reformando um dos quartos e gostaria de instalar um espelho plano em uma parede perpendicular ao chão com a possibilidade de conseguir observar todo seu corpo ereto (da cabeça aos pés).

Supondo que Darci tem 165 cm de altura e a sua distância horizontal em relação ao espelho é de 40 cm, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a menor altura do espelho plano que deverá ser instalado.

Imagine um jogo para celular chamado “Onde estão os uns?”. O aplicativo gera, de modo honesto, aleatório e sigiloso, uma matriz A = (a_{i j}) de dimensão 7x7com 46 entradas de valor 0 e apenas 3 entradas de valor 1. O objetivo do jogador é, a partir de dicas fornecidas pelo aplicativo, descobrir quais são as entradas da matriz com valor 1, daí o nome do jogo.

                                                                                     
Logo após o seu início, admita que as seguintes dicas são fornecidas:
I. a_4,4= ≠ 0
II. Se a_i,i = 1, então i = 4
III. a_i,j = a_j,i para todo i,j ∈ {1,2,..., 7}

Considerando todas as possíveis matrizes que poderiam ser geradas pelo aplicativo satisfazendo o enunciado e as dicas, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a probabilidade de a matriz gerada ter entrada a_6,4 = 1

Leia o texto e analise a imagem a seguir.

Uma resposta para os que creem na “Terra Plana” é o argumento grego, vigente há 2.500 anos, que se baseia na sombra projetada pela Terra na Lua durante um eclipse lunar.

Adaptado de: emais.estadao.com.br

                                                          

Adaptado de: tribunapr.uol.com.br

Uma geômetra analisa a fotografia de um eclipse lunar e faz um esboço idealizado da imagem que observa. Para tanto, e utilizando seus conhecimentos matemáticos, constrói uma circunferência C₁ de centro O e raio r > 0. Em seguida, toma o diâmetro  e um ponto A na circunferência, de modo que o ângulo  é reto. A partir daí, ela constrói uma circunferência C₂ de centro A e raio . Por fim, sombreia uma região do esboço, conforme a figura a seguir.

                                                         

Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a área da região sombreada no esboço pela geômetra.

Leia o texto a seguir.

O que é a técnica do Ponto de Fuga? É o conheci mento de como representar a tridimensionalidade em um plano, por meio de uma referência no horizonte para fazer as linhas e construir a percepção de profundidade.

                                                        

          Adaptado de: vivadecora.com.br

Uma geômetra deseja estudar a obra Supermarket, de Richard Estes, que gera percepção visual de profundidade. Para este fim, utiliza duas retas perpendiculares x e y graduadas, de modo a estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem O coincide com o canto inferior esquerdo da obra. Seja P o ponto em que as retas r e s se cruzam, conforme diagrama a seguir.

Admitindo que a reta r tem equação 16y = 3x+80, que a reta s passa pelo ponto Q =   e sabendo que tan  ,assinale a alternativa que apresenta, corretamente, as coordenadas do ponto P.

Leia o texto e a charge a seguir.

Traços da origem antropomórfica dos sistemas de contagem podem ser encontrados em inúmeras línguas. Na República Centro-Africana, por exemplo, “cinco” se diz moro, que também traduz-se como mão.

 Adaptado de: The Universal History of Numbers. (Georges Ifrah, ed. Wiley, 2000, pp. 21-22)

                                                  

                                                                                  Adaptado de: Getty Images

Um matemático observa o encontro retratado na charge e nota que o alienígena escreve sua contagem de modo diferente dos humanos, utilizando apenas 4 símbolos em vez dos 10 algarismos comumente utiliza dos por nós. Com seu conhecimento, o matemático formula um mecanismo que traduz a escrita da contagem alienígena para a do humano. Ele considera A = o conjunto formado pelos símbolos alienígenas e f : A → {0,1,2,3} a função que atribui, a cada símbolo, os valores f  = 0, f  = 1,f  = 2  e f  = 3. A partir daí, o matemático constrói a função g que traduz um número formado por dois símbolos alienígenas em um inteiro, através da função g : A x A →  dada por g (x,y) = 4.f (x) + f (y). Por exemplo, se o alienígena escreve , o matemático traduz em g    = 4 . f  + f   = 4 .1 + 1= 5.

Com base no texto, na charge e no mecanismo construído pelo matemático, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o elemento do domínio da função g cuja imagem é 4.

A folha é um dos órgãos das plantas e por meio dela ocorrem trocas gasosas. Deste modo, conhecer suas características geométricas, como a área, é determinante para compreender seu potencial fotossintético. Para estimar a área de um dos lados de uma folha, aqui considerada como figura plana, um pesquisador fixa uma unidade de comprimento u e coloca a folha embaixo de um papel quadriculado transparente, conforme figura 1.
                                                                                        Figura 1– Montagem inicial da bancada

Sabendo que os quadrados que formam o papel quadriculado têm, cada um, área 1 u², o pesquisador colore e conta 65 quadrados que sobrepõem a folha, obtendo uma estimativa de 65 u² de sua área, conforme figura 2.
                                                                           Figura 2– Primeira contagem

Insatisfeito com a estimativa, o pesquisador refaz o procedimento mais duas vezes, utilizando papéis de mesma largura e comprimento, mas quadriculados com quadrados de lados menores. Na segunda contagem, utiliza lado u e que conta 217 quadrados coloridos, conforme a figura 3. Já para a terceira contagem, utiliza lado   u e conta 800 quadrados coloridos, conforme figura 4.                                                                           Figura 3– Segunda contagem


                                                                        Figura 4– Terceira contagem

Com base no exposto, atribua V (verdadeiro) ou F (falso) às afirmativas a seguir.

(  ) Se o primeiro papel quadriculado é formado por 88 quadrados no total, então o terceiro papel quadriculado é formado por 1408 quadrados no total.

(  ) A área obtida pelo pesquisador na segunda contagem é 50 u².

(  ) As folhas possuem numerosos estômatos, estruturas que permitem a absorção de CO₂, que se fecham quando há restrição hídrica, reduzindo a perda de água por transpiração.

(  )  Admitindo que a área exata da figura plana formada pela folha é de   u²,então a diferença entre a área obtida pelo pesquisador, na terceira contagem, e a área exata é de   u².   

(  )  O CO₂, que é absorvido pela clorofila presente nos tilacoides e armazenado em moléculas de ATP, participa da etapa clara ou fotoquímica da fotossíntese.


Assinale a alternativa que contém, de cima para baixo, a sequência correta.