Sabendo que C é o centro geométrico do quadrado MNOP, c...

Questão boa para treinar área de segmento circular.

Por definição, a área do segmento circular é igual a área do setor circular menos a área do triângulo. Infelizmente não dá pra desenhar e assim fica um pouco abstrato e difícil de entender.

Com a área do quadrado achamos o seu lado que corresponde a 8 cm. O centro da circunferência é o ponto médio do segmento OP, em outras palavras, o centro da circunferência vai dividir o lado do quadrado em duas partes iguais resultando valor 4 cm. Este, por sua vez, corresponde ao raio da circunferência.

Encontrado o raio, através de uma regra de três (360 graus está para pi.r^2 assim como 90 graus está para a área do setor. O ângulo de 90 graus é formado pelos segmentos de reta do ponto C ao centro da circunferência e do ponto O ao centro da circunferência) encontramos a área do setor circular igual a 4 pi cm^2.

Agora vamos encontrar a área do triângulo. Por definição ela é igual a r^2.sen de alfa/2. Assim, fica 4^2.sen 90/2 = 8cm^2 (seno de 90 graus é igual a 1).

Por fim, para encontrar a área do segmento circular é só subtrair a área do setor circular da área do triângulo, como dito no início da explicação. Assim: 4 pi - 8 = 4 (pi - 2). Esta é a resposta da questão.

Vamo que vamo!

Se você dividir esse quadrado maior em 4 partes iguais (em quadrados menores), você irá perceber que a área sombreada formará 1⁄4 de uma circunferência, ou seja, um quadrante circular. Sendo assim, basta você utilizar a fórmula da área do triângulo (b.h)/2 e diminuir com a área do quadrante circular, que nada mais é do que a fórmula da área da circunferência sobre 4 (já que é 1⁄4 de uma circunferência). Então fica: (π.R^2)/4

O Raio será 4, visto que 8 corresponde ao lado do quadrado. Mas como eu sei que 8 é o lado do quadrado? Simples. Como a área do quadrado é fornecida: 64cm^2, e a fórmula da área para essa figura é lado ao quadrado (L^2), logo, 8^2=64.

Portanto:

Área do triângulo

A= b.h/2= 4.4/2=16/2= 8cm^2

Área da circunferência x 1⁄4 (quadrante circular)

A= πR^2/4= π4^2/4= 16π/4= 4πcm^2

Área Sombreada

Área do triângulo - Área do quadrante circular

8 - 4π

Coloca em evidência:

4 (π-2)