Gisele guarda seus sete livr...

Vamos lá.

primeiro coloquei os livros de poesia , entre eles temos 5 espaços pra colocar os livros de literaturas.

Temos 4 livros de poesia, que podem ser organizados de

4! = 24 formas.

3! = 6 formas

10 formas de organizar

3!⋅4!=10 ⋅6⋅24=1440

A quantidade de formas de escolher 3 espaços entre 5 é: 10

_p_ p_ p_ p_

Vamos la

primeiro coloquei os livros de poesia , entre eles temos 5 espaços pra colocar os livros de literaturas.

Temos 4 livros de poesia, que podem ser organizados de

P=7,3

LOGO SERIA

L L L P P P P

P=5= 120

P=3 = 6

TOTAL 720

CONT..

P P P P P L L UM SO

P5= MAIS UM LOGO

P6= 720

P2= 2

TOTAL 720*2=1440

B

 Gisele possui 7 livros no total, sendo 3 de literatura e 4 de poesia, todos diferentes entre si. Deseja-se descobrir de quantas formas diferentes ela pode organizá-los na prateleira, sem que dois livros de literatura fiquem juntos.

Como os 4 livros de poesia são distintos, usamos a fórmula da permutação simples para organizá-los:

Permutação simples:

P(n) = n!

Aplicando:

P(4) = 4! = 24 formas

Após posicionar os 4 livros de poesia, criam-se 5 espaços possíveis para os livros de literatura, de modo que eles não fiquem juntos:

_ P _ P _ P _ P _

Cada '_' representa um local onde um livro de literatura pode ser inserido sem encostar em outro.

Como estamos apenas selecionando quais espaços serão usados (sem se importar com a ordem dos espaços escolhidos), usamos a fórmula da combinação:

Combinação:

C(n, k) = n! / (k!(n - k)!)

Aplicando:

C(5, 3) = 5! / (3! × 2!) = 10 formas

Agora, organizamos os 3 livros de literatura (que são distintos) dentro dos 3 espaços escolhidos. Como a ordem importa e usamos todos os livros, trata-se de um arranjo simples de 3 elementos tomados 3 a 3:

Arranjo simples:

A(n, k) = n! / (n - k)!

Aplicando:

A(3, 3) = 3! / (3 - 3)! = 6 formas

Multiplicamos todas as possibilidades:

Total = 4! × C(5, 3) × 3! = 24 × 10 × 6 = 1440

Resposta correta: Letra B – 1.440

O número total de maneiras é 1440.

Alternativa correta: B) 1440.

1. Arrumamos os 4 livros de poesia (P): Eles podem ser organizados de 24 formas (4!).
2. Criamos espaços entre os P: Sobram 5 lugares para colocar os 3 livros de literatura (L) sem que fiquem juntos.
3. Escolhemos 3 desses 5 lugares: Isso pode ser feito de 10 maneiras (combinação de 5 escolhe 3).
4. Trocamos a ordem dos livros de L: Eles podem ser organizados de 6 formas (3!).
5. Total: 24 (P) × 10 (espaços) × 6 (L) = 1440.

Vamos resolver essa questão passo a passo.

Dados do problema:

Gisele tem 7 livros: 3 de literatura (L) e 4 de poesia (P).

Queremos saber de quantas formas diferentes ela pode arrumar os 7 livros na prateleira, com a condição de que os livros de literatura não podem ficar juntos.

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Etapa 1: Arranjar os livros de poesia (P)

Como não queremos livros de literatura juntos, vamos começar posicionando os livros de poesia, pois eles vão servir como "barreiras".

Arranjos possíveis dos 4 livros de poesia:

Como são 4 livros diferentes:

4! = 24 \text{ maneiras}

Agora, entre esses 4 livros de poesia, há espaços onde podemos colocar os livros de literatura. Observe:

Se representarmos os 4 livros de poesia assim:

P1 – P2 – P3 – P4

Há 5 espaços possíveis para inserir os livros de literatura sem que fiquem juntos:

antes do 1º P

entre P1 e P2

entre P2 e P3

entre P3 e P4

depois de P4

Ou seja, temos 5 espaços para colocar os 3 livros de literatura, com a condição de que cada um vá em um espaço diferente, para que não fiquem juntos.

A quantidade de formas de escolher 3 espaços entre os 5 disponíveis (sem repetir, porque um livro por espaço) é:

\binom{5}{3} = 10 \text{ formas}

Agora, para cada uma dessas escolhas de 3 espaços, os 3 livros de literatura diferentes podem ser arranjados entre si de:

3! = 6 \text{ maneiras}

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Etapa 2: Multiplicando tudo

Total de arranjos possíveis:

\text{Arranjos de P} \times \text{Escolhas dos espaços} \times \text{Arranjos de L} = 24 \times 10 \times 6 = \boxed{1440}

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Gabarito: Letra B) 1440.