Se x = 0, f(0) = (1 - p)^m. O máximo ocorre em p = 1/5 e m = 1.

Se x = 1, f(1) = m p (1-p)^(m-1). O máximo ocorre em p = 1/4 e m =2.

Se x = 2, f(1) = K p² (1-p)^(m-2), onde K = 0 se m = 1 e K = 1 se m = 2. O máximo ocorre em p = 1/4 e m = 2.

Portanto, este é o estimador de máxima verossimilhança.

Dando mais detalhes à resposta do Breno:

A probabilidade da função binomial é : Cm,x * p^x * (1-p)^(m-x)

Se x =0 , então Cm,0 * p^0 * (1-p)^m

A combinação de qualquer número com 0 sempre será 1:

Cm,0 = m!/(m-0)!*0!

Cm,0 = m!/m! = 1

Sendo assim,

Se x=0, então p = p^0* (1-p)^m

Então p = (1-p)^m

O valor que maxima a função p = (1-p)^m é o menor valor possível de p para x=0, ou seja, p = 1/5, pois (1-p) = 4/5. Não importa se m=1 ou m=2.

Para x=1,

Cm,1 * p^1 * (1-p)^(m-1)

A combinação de qualquer número com 1 é ele mesmo, portanto Cm,1=m

Portanto, para X=1

p(X=1) = m * p * (1-p)^(m-1)

Como m está multiplicando, para maximizar a função de verossimilhança, m = 2. Se m=1, a função não seria maximizada.

Portanto, p(x=1) = 2*p*(1-p)

Testando para p=1/4,

p(x=1, p=1/4) = 2 * 1/4 * 3/4 = 6/16 = 3/8

Testando para p=1/5,

p(x=1, p=1/5) = 2 * 1/5 * 4/5 = 8/25

3/8 é maior que 8/25, portanto o p que maximiza a verossimilhança é p=1/4.

Para x=2,

Cm,2 * p^2 * (1-p)^(m-2)

Se x=2, obrigatoriamente m=2, não há como fazer combinação C1,2.

Então,

C2,2 * p^2 * (1-p) ^0

C2,2 * p^2

1 * p^2

p=1/4