Alternativa Correta: C - E(X) * E(Y) = E(XY) – Cov(X, Y)

Vamos entender por que a alternativa C é a correta e analisar cada uma das alternativas apresentadas.

Tema Central da Questão: Esta questão explora conceitos fundamentais da estatística e probabilidade, em particular os conceitos de expectância (esperança matemática), variância e covariância. Esses são conceitos essenciais na econometria, pois ajudam a compreender a relação entre variáveis aleatórias, que é crucial na análise e modelagem econômica.

Resumo Teórico:

• Expectância (E): A média teórica de uma variável aleatória.
• Variância (Var): Mede a dispersão dos valores em torno da média.
• Covariância (Cov): Mede como duas variáveis aleatórias variam juntas.
• Se X e Y são variáveis independentes, então E(XY) = E(X) * E(Y).
• A relação entre E(X) * E(Y), E(XY) e Cov(X, Y) é dada por: E(XY) = E(X) * E(Y) + Cov(X, Y).

Justificativa da Alternativa Correta (C): A fórmula correta para a relação entre a expectativa do produto de duas variáveis aleatórias e sua covariância é: E(XY) = E(X) * E(Y) + Cov(X, Y). Ao rearranjar esta fórmula, temos: E(X) * E(Y) = E(XY) - Cov(X, Y). Portanto, a alternativa C é correta.

Análise das Alternativas Incorretas:

• A - E(XY) = E(X) + E(Y) – 2Cov(X, Y): Esta expressão não faz sentido matematicamente. A expectativa de um produto não é simplesmente a soma das expectativas menos duas vezes a covariância.
• B - E(3X + 2Y) = 9E(X) + 4E(Y): Esta fórmula está errada. A propriedade linear da expectativa nos diz que E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y), de modo que seria E(3X + 2Y) = 3E(X) + 2E(Y).
• D - Var(X + 5) = Var(X) + 5: Está incorreto. A variância é afetada por constantes de forma diferente. A variância de uma soma com uma constante é igual à variância original: Var(X + c) = Var(X).
• E - Cov(X, Y) = Var(X) • Var(Y): Esta expressão está incorreta. A covariância não é o produto das variâncias, a menos que se trate especificamente de variáveis independentes normais padronizadas, mas mesmo assim exigiria uma interpretação cuidadosa.

Lembre-se, entender a teoria por trás dessas fórmulas é vital para resolver questões mais complexas em econometria. A prática constante e a revisão de conceitos são aliados para o sucesso em provas de concursos públicos.

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definição de covariância: Cov(x,y) = E[(x-x̄)(y-ȳ)] = E[xy] - E[x]E[y]

1. Lei da Esperança (A Obediente) A Esperança (média) é linear. Ela respeita as operações matemáticas básicas.

• Se você multiplica a variável por 3, a média triplica.
• Regra: E(aX + b) = a.E(X) + b.

2. Lei da Variância (A Explosiva e Seletiva) A Variância mede dispersão (risco). Ela tem dois comportamentos estranhos:

• Ignora Somas: Somar um valor fixo (constante) a todos os dados não muda a dispersão. Logo, Var(X + 5) é igual a Var(X). O "+5" desaparece.
• Eleva Multiplicadores ao Quadrado: Se você multiplica a variável por 3, a variância é multiplicada por 9 (3 ao quadrado).

3. Lei da Covariância (A Chave da Questão) Existe uma fórmula fundamental que relaciona a média do produto com o produto das médias.

• Fórmula Base: Cov(X, Y) = E(XY) - E(X).E(Y) (Covariância é igual à Esperança do Produto menos o Produto das Esperanças).

Resolução da Questão: A alternativa C é correta porque fez apenas uma manobra algébrica na fórmula da Covariância.

• Pegou-se o termo negativo "-E(X).E(Y)" e passou-se para o outro lado somando.
• Pegou-se a Covariância e passou-se subtraindo.
• Resultado: E(X).E(Y) = E(XY) - Cov(X, Y).