A alternativa correta é a D.

Vamos entender o tema central da questão, que trata da estimação de modelos de probabilidade linear em um contexto onde a variável dependente é binária. Esse tipo de modelo é comum em econometria quando se deseja prever a probabilidade de um evento ocorrer, como uma família ser classificada como pobre ou não.

O modelo proposto é um modelo de probabilidade linear, onde a expectativa condicional \( E(Y|X) \) é modelada como uma combinação linear das variáveis explicativas \( X \). Essa abordagem tem limitações, especialmente porque pode prever probabilidades fora do intervalo [0,1] e não lida bem com a heterocedasticidade.

**Análise da Alternativa D (Correta):**

A alternativa D sugere que o modelo pode ser estimado por Mínimos Quadrados Ponderados (MQP), com pesos positivos. Essa abordagem é adequada porque os pesos podem ajudar a corrigir problemas de heterocedasticidade, assumindo que conhecemos a forma da variância.

**Análise das Alternativas Incorretas:**

A: A afirmação de que apenas valores de \( Y = 1 \) são considerados está incorreta. Em um modelo de probabilidade linear, todos os valores de \( Y \) são usados. O problema real é a possibilidade de prever probabilidades fora do intervalo [0,1].

B: Mesmo que o termo de erro tenha distribuição normal, MQO não é adequado para variáveis dependentes binárias, porque a variância de \( Y \) depende de \( X \), violando um dos pressupostos do MQO.

C: A variância de \( Y|X \) não é constante em um modelo de probabilidade linear, pois depende da probabilidade \( p \), que varia com \( X \). Portanto, o estimador MQO não é o melhor estimador linear não viesado neste caso.

E: A estimação robusta à heterocedasticidade pode ser aplicada, mas não resolve o problema de prever probabilidades fora do intervalo [0,1]. A afirmação de que não pode ser usada está incorreta, embora não resolva todos os problemas do modelo.

Em suma, a estimativa de modelos de probabilidade linear requer cuidados especiais, como o uso de MQP ou outras alternativas como Logit/Probit, para lidar com as limitações mencionadas.

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Gabarito: LETRA D.

O Modelo de Probabilidade Linear (MPL) é o modelo de regressão linear em que a variável resposta é binária, assumindo apenas os valores 0 e 1. Vamos analisar o que dizem as alternativas.

a)  se esse modelo for estimado por Mínimos Quadrados Ordinários, Modelo de Probabilidade Linear, para os b, pois apenas valores de Y = 1 são considerados.

Incorreto. Ainda que os termos de erro não sigam distribuição normal (conforme veremos abaixo) e que eles sejam heterocedásticos, os estimadores de MQO permanecem não viesados e consistentes, deixando apenas de ser eficientes.

b)  , pode-se estimar o modelo por Mínimos Quadrados Ordinários, MQO, e fazer inferência clássica da forma usual está correto.

Incorreto. No Modelo de Probabilidade Linear os termos de erro seguem distribuição de Bernoulli pois, assim como os Y, admitem apenas os valores 0 e 1.

c)  como a , o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários, MQO, é o melhor estimador linear não viesado.

Incorreto. A variância dos termos de erro no MPL não é constante (é heterocedástica).

Isso ocorre porque, sendo Y binária, ela segue distribuição de Bernoulli, a qual tem média p e variância p(1-p). Ou seja, a variância é uma função da média, não sendo portanto constante (homocedástica).

d)  o modelo pode ser estimado por Mínimos Quadrados Ponderados, e os pesos utilizados devem ser positivos.

Correto. Para contornar os problemas gerados pela heterocedasticidade dos erros no MPL, usamos o método dos mínimos quadrados ponderados, dividindo toda a equação do modelo pela raiz quadrada dos termos wi, que servirão de pesos e transformarão o modelo em um em que o termo de erro passa a ser homocedástico.

e)  a estimação robusta à heterocedasticidade , pois não garante que a probabilidade estará entre zero e 1.

Incorreto. Ao contrário. Como os erros são heterocedásticos devemos usar a estimação robusta dos erros.