Considerando-se uma variável dependente binária, igual a 1 ...

A alternativa correta é a D: "o modelo pode ser estimado por Mínimos Quadrados Ponderados, e os pesos utilizados devem ser positivos."

Tema central da questão: Essa questão aborda a estimação de modelos de probabilidade linear, especificamente em contextos onde a variável dependente é binária. É fundamental entender as limitações dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) para variáveis dependentes binárias e como métodos alternativos, como o modelo de probabilidade linear ponderado, podem ser utilizados.

Resumo teórico: Em econometria, quando modelamos uma variável dependente binária (como pobre/não pobre), o modelo linear pode ser estimado por MQO, mas isso pode levar a problemas de especificação, como valores preditos fora do intervalo [0,1]. Os Mínimos Quadrados Ponderados são uma alternativa, ajustando os pesos para lidar com heterocedasticidade, comum em variáveis binárias.

Justificativa da alternativa correta (D): Usar Mínimos Quadrados Ponderados é uma técnica padrão para ajustar modelos onde a variância do erro não é constante (heterocedasticidade). Para variáveis dependentes binárias, os pesos ajudam a garantir que as predições façam sentido probabilisticamente. Os pesos devem ser positivos, para garantir que o modelo se ajuste adequadamente aos dados.

Análise das alternativas incorretas:

A: A afirmação de que apenas valores de Y = 1 são considerados está incorreta. O MQO considera todos os valores de Y na estimação.

B: Mesmo que o erro tenha distribuição normal, o uso de MQO para variáveis binárias ainda pode produzir predições fora do intervalo lógico [0,1], comprometendo a inferência.

C: A variância de Y não é constante em modelos binários, tornando a afirmação de que o MQO é o melhor estimador linear não viesado incorreta.

E: Embora a estimação robusta à heterocedasticidade ajude a ajustar a variância, ela não garante que as predições de probabilidade estejam dentro do intervalo [0,1], mas isso não invalida totalmente seu uso, apenas sugere cautela.

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Gabarito: LETRA D.

O Modelo de Probabilidade Linear (MPL) é o modelo de regressão linear em que a variável resposta é binária, assumindo apenas os valores 0 e 1. Vamos analisar o que dizem as alternativas.

a)  se esse modelo for estimado por Mínimos Quadrados Ordinários, Modelo de Probabilidade Linear, para os b, pois apenas valores de Y = 1 são considerados.

Incorreto. Ainda que os termos de erro não sigam distribuição normal (conforme veremos abaixo) e que eles sejam heterocedásticos, os estimadores de MQO permanecem não viesados e consistentes, deixando apenas de ser eficientes.

b)  , pode-se estimar o modelo por Mínimos Quadrados Ordinários, MQO, e fazer inferência clássica da forma usual está correto.

Incorreto. No Modelo de Probabilidade Linear os termos de erro seguem distribuição de Bernoulli pois, assim como os Y, admitem apenas os valores 0 e 1.

c)  como a , o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários, MQO, é o melhor estimador linear não viesado.

Incorreto. A variância dos termos de erro no MPL não é constante (é heterocedástica).

Isso ocorre porque, sendo Y binária, ela segue distribuição de Bernoulli, a qual tem média p e variância p(1-p). Ou seja, a variância é uma função da média, não sendo portanto constante (homocedástica).

d)  o modelo pode ser estimado por Mínimos Quadrados Ponderados, e os pesos utilizados devem ser positivos.

Correto. Para contornar os problemas gerados pela heterocedasticidade dos erros no MPL, usamos o método dos mínimos quadrados ponderados, dividindo toda a equação do modelo pela raiz quadrada dos termos wi, que servirão de pesos e transformarão o modelo em um em que o termo de erro passa a ser homocedástico.

e)  a estimação robusta à heterocedasticidade , pois não garante que a probabilidade estará entre zero e 1.

Incorreto. Ao contrário. Como os erros são heterocedásticos devemos usar a estimação robusta dos erros.