Esta seria uma ótima questão para um professor comentar!

vamos lá:

inicialmente, vamos sair do logaritmo, aplicando a definição, ficando com a equação :

2(x1 + x2 + ... + x10) = 8

1°) vamos resolver esquecendo o fator 2 que multiplica a soma das incógnitas:

x1 + x2 + ... + x10 = 8

que consiste na seguinte permutação:

| | | | | | | | + + + + + + + + +

veja que são 8 barras e 9 sinais de +, daí:

N2 = 17!/9!.8!

2°) vamos resolver passando o fator 2 dividindo:

x1 + x2 + ... + x10 = 4

que consiste na seguinte permutação:

| | | | + + + + + + + + +

veja que são 4 barras e 9 sinais de +, daí:

N1 = 13!/9!.4!

montando uma comparação:

N2/N1 = (17!/9!.8!)/(13!/9!.4!)

simplificando encontraremos:

N2 = 34.N1

letra d)

Resolução do problema:

1. Problema original proposto por Logaritmson:

Equação: log_2 [2(x_1 + x_2 + ... + x_{10})] = 3

Seja S = x_1 + x_2 + ... + x_{10}.

log_2(2S) = 3 => 2S = 2^3 = 8 => S = 4

Queremos o número de soluções inteiras e não negativas para:

x_1 + x_2 + ... + x_{10} = 4

Utilizando a fórmula de combinações com repetição (estrelas e barras):

N_1 = CR_{10, 4} = C(10 + 4 - 1, 4) = C(13, 4)

C(13, 4) = (13 * 12 * 11 * 10) / (4 * 3 * 2 * 1) = 17160 / 24 = 715

Portanto, N_1 = 715.

2. Resolução de Arismetisvalda (esqueceu o fator 2):

Equação: log_2 (x_1 + x_2 + ... + x_{10}) = 3

log_2(S) = 3 => S = 2^3 = 8

Queremos o número de soluções inteiras e não negativas para:

x_1 + x_2 + ... + x_{10} = 8

N_2 = CR_{10, 8} = C(10 + 8 - 1, 8) = C(17, 8)

C(17, 8) = (17 * 16 * 15 * 14 * 13 * 12 * 11 * 10) / (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 24310

Portanto, N_2 = 24310.

Resumo dos valores:

N_1 = 715

N_2 = 24310

Para escrever N_2 em função de N_1, podemos utilizar os valores encontrados anteriormente:

N_1 = C(13, 4) = 715

N_2 = C(17, 8) = 24310

Calculando a razão entre N_2 e N_1:

N_2 / N_1 = 24310 / 715 = 34

Portanto, isolando N_2:

N_2 = 34 * N_1

* Cálculo de comparação:

30 * N_1 = 30 * 715 = 21450

Como N_2 = 24310, temos que 24310 > 21450, o que significa que N_2 é estritamente maior do que 30 vezes N_1.

A alternativa correta é a letra D.