Questão de combinação

Eu resolvi da seguinte forma:

1º Passo:

Fiz a combinação de mulheres que seria: C 3,5 = 10

Fiz a combinação de homens que seria: C 2,6 = 15

2º Passo:

Multipliquei as combinações possíveis e cheguei ao resultado de: 150

Não desista. Até outro dia, eu nem imaginava como resolver um questão dessas e agora estou aqui tentando ajudar você.

Pra cima, rapaziada. O dia ainda há de chegar!!

A fórmula da combinação serve justamente para "descontar" essas repetições. Ela é escrita assim:

$$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Onde:

• $n$ é o total de pessoas disponíveis.

• $k$ é quantas pessoas queremos escolher.

• O símbolo $!$ (fatorial) significa multiplicar um número por todos os seus antecessores até 1 (exemplo: $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1$).

2. Passo a passo: O grupo das mulheres

Temos $n = 5$ mulheres disponíveis e precisamos escolher $k = 3$.

Aplicando na fórmula:

$$C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!}$$

Subtraindo o que está entre parênteses:

$$C(5, 3) = \frac{5!}{3! \times 2!}$$

Para resolver isso sem fazer contas gigantes, nós "abrimos" o $5!$ apenas até o $3!$ para podermos cancelar com o número de baixo:

$$C(5, 3) = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times (2 \times 1)}$$

Cancelamos o $3!$ de cima com o $3!$ de baixo e resolvemos o restante:

$$C(5, 3) = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

Resultado: Existem 10 trios diferentes de mulheres que podem ser formados.

3. Passo a passo: O grupo dos homens

Temos $n = 6$ homens disponíveis e precisamos escolher $k = 2$.

Aplicando na fórmula:

$$C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!}$$

Subtraindo o que está entre parênteses:

$$C(6, 2) = \frac{6!}{2! \times 4!}$$

Abrimos o $6!$ até chegar no $4!$:

$$C(6, 2) = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2! \times 4!}$$

Cancelamos os $4!$ (em cima e embaixo) e resolvemos o restante ($2!$ é simplesmente $2 \times 1$):

$$C(6, 2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$$

Resultado: Existem 15 duplas diferentes de homens que podem ser formadas.

4. O Princípio Multiplicativo

Agora sabemos que temos 10 opções de grupos femininos e 15 opções de grupos masculinos. Por que multiplicamos $10 \times 15$?

Imagine que você é o coordenador. Você escolhe o Trio de Mulheres A. Para completar a comissão, você pode juntar esse trio com a Dupla de Homens 1, ou com a Dupla 2, ou com a Dupla 3... e assim por diante, até a Dupla 15.

Ou seja, para cada um dos 10 trios de mulheres, existem 15 duplas de homens possíveis para acompanhá-las.

Por isso, multiplicamos as possibilidades:

$$10 \times 15 = 150$$