Em um setor administrativo de um órgão público, servidores analisam requerimentos de pagamento de diárias apresentados por agentes que realizaram deslocamentos a serviço. O tempo necessário para concluir a análise de um requerimento pode ser modelado por uma distribuição exponencial, com taxa média de conclusão de 0,5 requerimento por hora. Sabendo que a análise de determinado requerimento já durou pelo menos 1 hora, assinale a alternativa que apresenta, aproximadamente, a probabilidade de que ela dure mais de 3 horas no total. Considere, para fins de cálculo, e⁻¹ ≈ 0,3679, e⁻² ≈ 0,1353 e e⁻³ ≈ 0,0498.

No processo de implantação da Manutenção Centrada na Confiabilidade (RCM) para o sistema de água gelada de um edifício do Ministério Público, o Engenheiro responsável verificou que um conjunto motobomba apresentava comportamento compatível com um modelo exponencial de confiabilidade, com taxa de falhas constante de 0,0004 h⁻¹.

Para a resolução da questão, considere as aproximações a seguir e a variação linear entre elas: 

• e^-0,25 ≈ 0,78; 
• e^-0,50 ≈ 0,61.

Assim, a confiabilidade aproximada desse conjunto motobomba após 900 horas de operação contínua é de, aproximadamente,

Um analista de confiabilidade está interessado em estudar o tempo médio entre falhas consecutivas (TBF – Time Between Failures) em equipamentos hospitalares de alta complexidade. Para modelar essa variável aleatória contínua e não negativa, a distribuição Exponencial é frequentemente utilizada. Em relação às propriedades da distribuição Exponencial e suas aplicações em análise de confiabilidade, julgue os itens a seguir:

I. Se T ~ Exponencial (λ) (com função densidade ƒ(t) = λ e^−λt , t ≥ 0, e média 1/λ), então a função de risco (taxa de falha) é constante e igual a λ, o que caracteriza ausência de memória: P (T > t + s ∣ T > s) = P (T > t).

II. A distribuição Exponencial é o único modelo contínuo com propriedade de falta de memória, e isso a torna inadequada para modelar equipamentos com desgaste (taxa de falha crescente), mas adequada para falhas aleatórias não relacionadas ao envelhecimento.

III. Se o número de falhas em um intervalo de tempo segue um processo de Poisson homogêneo com taxa λ, então o tempo entre falhas consecutivas segue uma distribuição Exponencial com média 1/λ. Além disso, o tempo até a k-ésima falha segue uma distribuição Gama (Erlang) com parâmetros k e λ.

IV. Para uma amostra aleatória T₁, T₂, … , T_n i.i.d. Exponencial(λ), o estimador de máxima verossimilhança de λ é λ = 1/Tˉ, que é um estimador não viesado para λ.

V. O coeficiente de variação (CV) da distribuição Exponencial é igual a 1, independentemente do valor de λ, o que significa que o desvio padrão é igual à média. Esse é um critério diagnóstico útil para verificar a adequação do modelo exponencial a dados empíricos.

Assinale a alternativa com a sequência CORRETA (V/F):

Considere que o tempo de vida de um componente eletrônico segue uma distribuição exponencial. Se esse componente já está funcionando há 500 horas, a probabilidade desse componente funcionar por mais 100 horas, em comparação a um componente novo funcionar pelas mesmas 100 horas a probabilidade

No controle de qualidade de um de seus produtos, a equipe de pesquisa de uma empresa de medicamentos está analisando a vida útil de um hemoderivado sob condições específicas de armazenamento. Sabe-se que o tempo, em anos, até que o produto perca sua eficácia pode ser modelado como uma variável aleatória contínua X, cuja função densidade de probabilidade é f (x) = ^−cx / 2 para x ≥ 0 e f (x) = 0 para x < 0, onde c é uma constante positiva. O valor de c e o valor da probabilidade da vida útil do hemoderivado ser superior a um ano são, respectivamente, iguais a:

Considere X como uma variável aleatória que representa o tempo (em horas) entre o recebimento de denúncias no canal de comunicação de certo Tribunal de Justiça, cuja função densidade de probabilidade é dada por:

f(x) = ce ^−2x , x > 0,

onde c é uma constante positiva. Qual é o valor de d, em horas, tal que P(X ≤ d) = 0, 75? (Dados: ln(0,125) = -2,08; ln(0,25) = -1,39; ln(0,75) = -0,29; ln(1) = 0; ln(2) = 0,69.)

Em determinado município brasileiro, uma lei municipal estabeleceu às agências bancárias obrigações relativas ao tempo de atendimento de seus usuários. Segundo essa lei, o tempo de espera de um usuário em uma agência bancária não pode exceder 15 minutos em dias normais. Sendo assim, suponha que o tempo de espera (em minutos) dos clientes de determinado banco seja modelado utilizando-se uma distribuição exponencial com parâmetro  > 0 (média ). Nesse caso, para que o banco cumpra a lei em pelo menos 90% do tempo em dias normais, é necessário que: 

Seja X a variável aleatória que representa o número de ocorrências de um certo evento A em t unidades de tempo.
A distribuição de probabilidade de X segue a distribuição de Poisson, isto é, a probabilidade de {X = x} é dada por:

e ^−λt(λt) x/x!,

onde λ é a taxa de ocorrência por unidade de tempo.
Considerando o exposto, o valor esperado do tempo entre duas ocorrências consecutivas do evento A, é

Uma distribuição Exponencial possui valor esperado igual a 0,5. O valor da esperança do quadrado dessa variável aleatória é: 

Considerando que a durabilidade D, em meses, de uma peça mecânica siga uma distribuição exponencial com média igual a 4 e que e^-1 = 0,37, então a probabilidade P (D ≤ 4)será igual a 

Seja {1, 1, 2, 2, 4} uma amostra de uma população cuja distribuição é exponencial com parâmetro β. Determine o estimador de máxima verossimilhança para β e assinale a alternativa correta.