A receita da pizza criada por Benedita é feita com fermentação natural, um processo que os egípcios já utilizavam por volta do ano de 2500 AC. Um preparo de fermento natural inicia-se quando 10 gramas de uma substância, conhecida como pasta madre, são adicionadas à água contida em um recipiente. A massa dessa substância gradativamente se dissolve na água até que haja apenas uma mistura homogênea. Seja m a massa residual da pasta madre na água, em gramas, após t horas do início de um preparo de fermento natural. Considere que m seja uma função de t definida por

Nessa função, t = 0 corresponde ao início de um preparo de fermento natural.

Texto 2 - 0 início dos negócios

Quando Benedita e seus netos inauguraram a pizzaria, eles vendiam pizzas com o mesmo tamanho e sabor. Claudinho ficou responsável pela contabilidade da pizzaria e, ao término do primeiro semestre de funcionamento, registrou, no gráfico de barras abaixo, as vendas de pizzas em cada um dos seis meses.

Denote por xt o número de unidades de pizzas vendidas no /-ésimo mês, / = 1,2,3,4,5,6. Segue do gráfico acima que 0 < Xx < X2 < X3 < x4 < x5 < x6 < 600 . Para responder as duas questões seguintes, considere que x, = 59 e x5 = 531.

Texto 3- Pausa para um estudo

Depois dos seis primeiros meses de funcionamento da pizzaria, Naná sugeriu que fossem vendidas pizzas com outros tamanhos, isto é, com diâmetros diferentes do original. Coube a Claudinho escolher os novos tamanhos e apresentar seus respectivos custos. Para realizar essa tarefa, Claudinho teve que estudar um importante conceito relacionado a funções. Vamos acompanhá-lo nesse estudo!

A taxa de variação de uma função

Sejam r e s números reais distintos.

Considere os seguintes teoremas a respeito da taxa de variação de uma função. Eles podem ser demonstrados a partir da definição acima. 

Texto 4 - Os custos

       Claudinho escolheu oito medidas diferentes de diâmetros e, para cada uma dessas medidas, ele associou uma denominação de pizza. Por exemplo, a pizza com o diâmetro de menor medida foi denominada de Original, enquanto que a de maior medida recebeu o nome de Exagerada. Essas oito denominações foram numeradas, desde a Original, sequencialmente, a partir do número 1, até que a pizza Exagerada seja a de número 8.

      Após avaliar os itens relacionados ao custo de produção de uma pizza, Claudinho concluiu que uma pizza de número n , n e { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 } , tem custo de produção C , em reais, dado por

C(n) = iin2 + vn + w ,

em que u , v e w são números reais e u > 0 ,5 .

      Considere que as pizzas de números 1 e 3 têm custos de produção iguais a R$12,00 e R$21,00, respectivamente. 

Texto 6 - Sob encomenda Os novos tamanhos fizeram sucesso entre os clientes, mas a pizza Original ainda era a líder de vendas. Essa popularidade fez com que a pizzaria ampliasse as formas de venda dessa pizza. Foi criado um sistema de vendas por encomenda, exclusivo para a pizza Original. Nesse sistema, o preço de venda de cada pizza varia conforme a quantidade de pizzas encomendadas. Na tabela abaixo, são dados os preços de venda da pizza Original em duas situações

Considere que o preço de venda P , em reais, da unidade da pizza Originai', em uma encomenda de q unidades dessa pizza, é uma função afim de q , em que q é um número inteiro tal que 10 < q < 100.

Texto 6 - Sob encomenda Os novos tamanhos fizeram sucesso entre os clientes, mas a pizza Original ainda era a líder de vendas. Essa popularidade fez com que a pizzaria ampliasse as formas de venda dessa pizza. Foi criado um sistema de vendas por encomenda, exclusivo para a pizza Original. Nesse sistema, o preço de venda de cada pizza varia conforme a quantidade de pizzas encomendadas. Na tabela abaixo, são dados os preços de venda da pizza Original em duas situações

Considere que o preço de venda P , em reais, da unidade da pizza Originai', em uma encomenda de q unidades dessa pizza, é uma função afim de q , em que q é um número inteiro tal que 10 < q < 100.

Texto 7 - segundo pausa para um estudo 

Como parte do projeto de expansão, a pizzaria também vai contar com um serviço de tele entregas. Para isso, foi necessário fazer um estudo do tipo de embalagens que seria utilizado. Claudinho já tinha uma ideia e, para colocá-la em prática, precisou revisar alguns conceitos da geometria. Vamos acompanhá-lo nesse estudo!

Polígonos regulares

Um polígono convexo é regular se, e somente se, tem todos os seus lados congruentes e todos os seus ângulos internos congruentes. O triângulo equilátero e o quadrado são exemplos de polígonos regulares.

Dizemos que um polígono regular circunscreve uma circunferência quando os lados do polígono são tangentes à circunferência. Sejam A e B dois vértices consecutivos de um polígono regular que circunscreve uma circunferência de centro O e seja M o ponto médio do segmento A B , conforme a figura abaixo. Temos que o segmento O M é perpendicular ao segmento A B .

O ângulo A O B é denominado ângulo central do polígono regular e tem medida igual 360°/n que n é o número de lados do polígono.

Texto 8 — As embalagens

Claudinho, com base nos conceitos vistos anteriormente, decidiu que a forma da base das embalagens deve ser a de um polígono regular em que a circunferência de uma pizza seja tangente aos lados desse polígono, conforme a figura abaixo. Para tanto, considere que uma pizza tem a forma de um círculo.

Naná contratou uma empresa que fabricou as embalagens de acordo com a decisão de Claudinho. Para as pizzas de números 1, 2, 3 e 4 foram fabricados dois tipos de embalagens, conforme a tabela abaixo.

Nas pizzas de tamanhos maiores, a base da embalagem fabricada pela empresa tem a forma de um octógono regular. 

Texto 9 - Rapidez na entrega

Com o intuito de oferecer um serviço de tele-entregas que minimize o tempo entre um pedido e a entrega, foi necessário fazer um mapeamento da região da pizzaria. A figura a seguir é parte desse mapeamento. As ruas destacadas nessa figura são representadas por retas, sendo que a Rua Itaberaí é perpendicular às ruas Tupi, Guarani e Araci, as quais são paralelas duas a duas. Os pontos destacados nessa figura representam a intersecção de ruas, mais especificamente temos que

• A é a intersecção das ruas Tupi, Itaberai e Peri;

• B é a intersecção das mas Guarani e Itaberaí;

• C é a intersecção das ruas Itaberaí, Araci e Ceei; ® D é a intersecção das ruas Araci e Peri;

• E é a intersecção das ruas Guarani, Ceei e Peri; ® Fé a intersecção das ruas Tupi e Ceei.

Texto 9 - Rapidez na entrega

Com o intuito de oferecer um serviço de tele-entregas que minimize o tempo entre um pedido e a entrega, foi necessário fazer um mapeamento da região da pizzaria. A figura a seguir é parte desse mapeamento. As ruas destacadas nessa figura são representadas por retas, sendo que a Rua Itaberaí é perpendicular às ruas Tupi, Guarani e Araci, as quais são paralelas duas a duas. Os pontos destacados nessa figura representam a intersecção de ruas, mais especificamente temos que

• A é a intersecção das ruas Tupi, Itaberai e Peri;

• B é a intersecção das mas Guarani e Itaberaí;

• C é a intersecção das ruas Itaberaí, Araci e Ceei; ® D é a intersecção das ruas Araci e Peri;

• E é a intersecção das ruas Guarani, Ceei e Peri; ® Fé a intersecção das ruas Tupi e Ceei.