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Conjectura de Collatz: os números maravilhosos.
O matemático alemão Lothar Collatz propôs em 1937 um problema intrigante, que à primeira vista parece simples, mas que esconde uma amplitude ainda não totalmente compreendida.
Esse problema ficou conhecido como Conjectura de Collatz, ou também como problema 3x + 1.
O processo é fácil de entender. Escolha um número inteiro positivo. Se o número for par, divida-o por 2. Se for ímpar, multiplique-o por 3 e some 1. Repita o processo com o resultado obtido. Por exemplo, comecemos com o número 6:
• 6 é par, então dividimos por 2, obtendo 3.
• 3 é ímpar, então multiplicamos por 3 e somamos 1, obtendo 10.
• 10 é par, então dividimos por 2, obtendo 5.
• 5 é ímpar, então multiplicamos por 3 e somamos 1, obtendo 16.
• 16 é par, então dividimos por 2, obtendo 8.
• 8 é par, então dividimos por 2, obtendo 4.
• 4 é par, então dividimos por 2, obtendo 2.
• 2 é par, então dividimos por 2, obtendo 1. Neste caso, após algumas etapas, chegamos ao número 1. A partir daí, o ciclo se repete: 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, … (ciclo fundamental), conforme ilustrado na Figura.

A Conjectura de Collatz afirma que, independentemente do número inteiro positivo inicial, a sequência sempre acabará chegando ao número 1. No exemplo apresentado, o número inicial 6, o processo leva 8 etapas (ou passos) para chegar ao número 1. Essas etapas geram a seguinte sequência numérica: [6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]. Nessa sequência, o valor máximo atingido é 16 (pico da sequência). Adaptado de: https://ensaiosenotas.com/2025/03/01/conjectura-de-collatz-os-numeros-maravilhosos/. Acesso em: 18 mar. 2026.
De modo mais formal, se o número de partida N é uma potência de 2, ou seja, N = 2^k (com k natural), então o número de etapas até chegar a 1 é exatamente k. Tomando 2^5=32 como número inicial N, considere a proposição condicional a seguir:
P: Se o número de partida é 32, então o número de etapas até chegar a 1 é 5.
Analise as alternativas que envolvem a proposição “P”, e indique a alternativa correta.
i- A proposição P é verdadeira.
ii- A inversa de P é dada por: "Se o número de partida não é 32, então o número de etapas até chegar a 1 não é 5".
-iii- A recíproca de P é dada por: “Se o número de etapas até chegar a 1 é 5, então o número de partida é 32”. O valor lógico da recíproca de P é FALSO. Como contraexemplo, observa-se que o número 5 também atinge o valor 1 em exatamente 5 etapas, seguindo a sequência: 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.
iv- A contrapositiva de P é dada por: "Se o número de etapas até chegar a 1 não é 5, então o número de partida não é 32".
v- A negação de P é dada por: "O número de partida é 32 e o número de etapas até chegar a 1 não é 5".
É verdadeiro o que se afirma em:
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Conjectura de Collatz: os números maravilhosos.
O matemático alemão Lothar Collatz propôs em 1937 um problema intrigante, que à primeira vista parece simples, mas que esconde uma amplitude ainda não totalmente compreendida.
Esse problema ficou conhecido como Conjectura de Collatz, ou também como problema 3x + 1.
O processo é fácil de entender. Escolha um número inteiro positivo. Se o número for par, divida-o por 2. Se for ímpar, multiplique-o por 3 e some 1. Repita o processo com o resultado obtido. Por exemplo, comecemos com o número 6:
• 6 é par, então dividimos por 2, obtendo 3.
• 3 é ímpar, então multiplicamos por 3 e somamos 1, obtendo 10.
• 10 é par, então dividimos por 2, obtendo 5.
• 5 é ímpar, então multiplicamos por 3 e somamos 1, obtendo 16.
• 16 é par, então dividimos por 2, obtendo 8.
• 8 é par, então dividimos por 2, obtendo 4.
• 4 é par, então dividimos por 2, obtendo 2.
• 2 é par, então dividimos por 2, obtendo 1. Neste caso, após algumas etapas, chegamos ao número 1. A partir daí, o ciclo se repete: 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, … (ciclo fundamental), conforme ilustrado na Figura.

A Conjectura de Collatz afirma que, independentemente do número inteiro positivo inicial, a sequência sempre acabará chegando ao número 1. No exemplo apresentado, o número inicial 6, o processo leva 8 etapas (ou passos) para chegar ao número 1. Essas etapas geram a seguinte sequência numérica: [6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]. Nessa sequência, o valor máximo atingido é 16 (pico da sequência). Adaptado de: https://ensaiosenotas.com/2025/03/01/conjectura-de-collatz-os-numeros-maravilhosos/. Acesso em: 18 mar. 2026.
I- Para que a sequência iniciada em N = 7 atinja o número 1, é necessário percorrer um número ímpar de etapas.
II- Durante todo o percurso da sequência, o valor máximo, (pico), alcançado é 34.
III- Na jornada até o número 1, a sequência percorre exatamente 6 números ímpares, (incluindo o 7 inicial).
São verdadeiras as afirmações:
( ) Não faças da tua vida um rascunho, poderás não ter tempo de passá-la a limpo. (Mário Quintana): função poética.
( ) Função conativa, ou apelativa, (convencer). A função conativa é caracterizada por uma linguagem persuasiva que tem o intuito de convencer o leitor ou o ouvinte. Por isso, o grande foco é no receptor da mensagem.
( ) Função metalinguística, (descrever ou explicar a própria linguagem). A função metalinguística é caracterizada pelo uso da metalinguagem, ou seja, a linguagem que se refere a ela mesma. Dessa forma, o emissor explica um código utilizando o próprio código.
( ) Como exemplos de linguagem referencial, (ou denotativa), podemos citar os materiais didáticos, textos jornalísticos e científicos. Todos eles, por meio de uma linguagem denotativa, informam a respeito de algo, sem envolver aspectos subjetivos ou emotivos à linguagem.
( ) Exemplo de linguagem emotiva, (ou expressiva).
— Consultório do Dr. Pedro, bom dia!
— Bom dia! Precisava marcar uma consulta para o próximo mês, se possível.
— Hum, o Dr. tem vagas apenas para a segunda semana. Entre os dias 7 e 11, qual a sua preferência?
— Dia 8 está ótimo.