Um sensor de monitoramento atmosférico deve percorrer a superfície de um domo protetor esférico, cuja equação é x² + y² + z² = 4. Devido à configuração do suporte eletromecânico, a trajetória do sensor é definida pela intersecção dessa esfera com um plano de equação: x + y + z = 1.

Considerando a trajetória fechada C resultante, assinale a alternativa correta que indica o vetor, com as coordenadas positivas, binormal à trajetória e o comprimento total do caminho que o sensor percorrerá sobre o domo.

Para a função f (x) = x In x (domínio: x >), determine o intervalo em que a função é côncava para cima.

A área delimitada por um arco da parábola y = x² e a reta y = 1 é rotacionada em torno do eixo y para formar um recipiente.

Determine o volume desse sólido. 

Determine o valor do limite.

Num Laboratório, um experimento consiste em um segmento de reta horizontal de comprimento L = 4R que se desloca verticalmente para baixo com velocidade constante v. No instante t = 0, o segmento está com seu ponto central na posição y = R, tangenciando o topo de um sensor circular, de raio R , centrado na origem (0,0), no ponto (0,R). Assinale a alternativa correta que apresenta a expressão para a área varrida A(t) pelo segmento dentro do círculo em função do tempo.

Analise as afirmativas:

I. para todo natural n > 2, não existem números inteiros a, b, e c tais que aⁿ + b ⁿ = c ⁿ ;

II. todo número par maior que 2 é igual à soma de dois números primos;

III. para todo natural n, existem n números inteiros compostos consecutivos.

Se associarmos SIM ou NÃO a cada afirmativa de acordo com o fato de ela já ter sido provada matematicamente, obteremos, de cima para baixo, a sequência

Seja X uma variável aleatória contínua cuja função de densidade de probabilidade segue uma lei de potência do tipo Pareto, definida por: f (x) = {3/x⁴, para x ≥ 1; 0, para x < 1{. Determine a expressão para a Função de Distribuição Acumulada, denotada por para F(x) = P (X ≤ x) para o intervalo x ≥ 1.

Calcule o limite L e identifique a qual classe de restos L pertence em relação ao módulo 3.

A distribuição exponencial com parâmetro λ descreve o tempo entre eventos em um processo de Poisson. Determine a esperança matemática E[X], utilizando a definição integral: E[X] = ∫₀^∞  xλe ^-λx dx.

Uma cônica é descrita em coordenadas polares pela equação r = e.d / (1 + e cos θ). Sabe-se que a excentricidade da curva é e = 2/√3. Assinale a alternativa correta que indica o ângulo agudo β formado entre as direções das duas assíntotas dessa hipérbole.

Um tanque tem a forma de um hemisfério perfeito de raio R = 6 m e está, inicialmente, cheio de água. Um dreno no vértice inferior (ponto mais baixo) é aberto, e o fluido começa a escoar. Se, em um determinado instante, o nível da água está a h = 3 m e a superfície livre do líquido está descendo a uma taxa de 0,1 m/min, então assinale a alternativa correta que indica a taxa de variação do volume dV/dt nesse exato momento.

O valor eficaz, ou RMS (Root Mean Square), de uma função periódica v(t), com período T, é definido matematicamente como a raiz quadrada da média do quadrado da função ao longo de um ciclo.

Considere o sinal de saída de um retificador de meia onda apresentado na figura, na qual a tensão é descrita por:

I. v (ω t) = V_m  sen (ω t) para 0 ≤ ω t ≤ π;

II. v (ω t) = 0 para π < ω t ≤ 2π.

Com base na figura e na aplicação do cálculo integral, assinale a alternativa correta que indica o valor de V_RMS em função da tensão de pico V_m. 

Considere o sistema.

Para quais valores de k o sistema possui infinitas soluções? 

Em computação, a complexidade de um algoritmo é 0 (log₂ n). Se dobrarmos n de 1 milhão para 2 milhões, em quanto aumentaria, aproximadamente, o número de operações?

No contexto de uma aula de Geometria, um docente propõe uma atividade de investigação sobre a soma dos ângulos internos de polígonos convexos. Em vez de apresentar a expressão algébrica S = (n -2)180° como um dogma a ser aplicado, o professor orienta os estudantes a decomporem diferentes polígonos em triângulos, utilizando diagonais que partem de um único vértice. Ao perceberem que um polígono de n lados é decomposto em (n -2) triângulos, os alunos estabelecem , indutivamente , a generalização para a soma dos ângulos. Essa prática pedagógica é uma aplicação direta de qual conceito?

Considere a transformação linear T: R² R² que rotaciona cada vetor em 90° no sentido anti -horário.

Qual é a matriz canônica de T?

Considere a função g(x) definida para x ≠ 0 por: g(x) = ( e^x - 1 - x / x²). Para que g(x) seja contínua no ponto x = 0, qual valor deve ser atribuído a g(0)?

No litoral de Alagoas, estudos etnomatemáticos revelam que pescadores artesanais utilizam a “braça”, medida baseada na envergadura dos braços abertos, como unidade fundamental para a confecção e a comercialização de redes de pesca. Ao transpor essa realidade para o ambiente escolar, sob a perspectiva da Etnomatemática proposta por D’Ambrosio, o papel do professor de matemática deve ser de 

Dadas as aplicações, considerando

R_n = {(x₁, x₂, ..., x_n) |x_i ε R, i = 1,2, ..., n},

I. P: R³  R³ , P (x,y,z) = ( x,y,0). 

II. Q: R²  R² , Q (x, y) = (x + 1, y + 2). 

III. N: Rⁿ  Rⁿ , N (x₁, x₂, ... x_n) = (0,0, ..., 0).