Alternativa Correta: C – Maior que 1600 e menor que 1700.

Tema central da questão:

A questão trabalha Análise Combinatória, especificamente a ideia de agrupamento e divisão de elementos em partes iguais. Esse tipo de raciocínio é muito cobrado em concursos e envolve os conceitos de permutação e combinação.

Resumo teórico:

Quando queremos dividir n pessoas em grupos distintos, cada um com número igual de integrantes, usamos a seguinte lógica:
Número de modos = n! / [(k!)^g × g!], onde:
- n = total de pessoas (9 hóspedes)
- g = quantidade de grupos (3 quartos)
- k = pessoas por grupo (3 hóspedes por quarto)

O fatorial (!) é multiplicar todos os números inteiros positivos até aquele número.
Exemplo: 3! = 3×2×1 = 6.

(Fontes: Só Matemática – Divisão em grupos)

Justificativa da alternativa correta:

Vamos calcular:
n! = 9! = 362880
Cada grupo tem 3 pessoas, são 3 grupos:
(k!)^g = (3!)^3 = 6^3 = 216
Agora, como os quartos são distintos, não dividimos por 3!
Portanto:
Número de modos = 9! / (3!)^3 = 362880 / 216 = 1680
O resultado está entre 1600 e 1700.

Análise das alternativas incorretas:

A – “Maior que 1800.”
Errada. O resultado é 1680, não ultrapassa 1800.

B – “Maior que 1700 e menor que 1800.”
Errada. O valor está abaixo de 1700.

D – “Maior que 1500 e menor que 1600.”
Errada. O valor calculado supera 1600.

E – “Menor que 1500.”
Errada. O valor correto é acima de 1500.

Dicas para interpretação:

Leia atentamente se os grupos são distintos (quartos diferentes) ou indistintos (grupo sem identidade).
Repare se a divisão é exata (todos os quartos com o mesmo número de pessoas).
Atenção ao uso de fatorial e à ordem dos fatores!

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C9,3 x C6.3 x C3,3 = 84 x 20 x 1 = 1680

Gabarito: C

C9,3 x C6.3 x C3,3 = 84 x 20 x 1 = 1680 ----- pensar em uma espécie de fatorial, onde os 3 que estarão no primeiro quarto não estará no segundo e os três do último, não serão os 6 anteriores.

ou pensar C9pessoas,3pessoas^3grupos