Em uma Progressão Geométrica crescente, a7 + a5 = 26.112 ...
| a4 + a2 = 408 | a1q³ + a1q = 408 | a1q(q² + 1) = 408
| a7 + a5 = 26.112 |a1q^6 + a1q^4 = 26.112 | a1q^4(q² + 1)= 26.112 cortando (q² + 1) e a1 pela divisão:
|q = 408
|q^4= 26.112 que dividindo um pelo outro fica:
q³= 64
q=4 com a razão, basta voltar à equação a1q³ + a1q = 408
4³a1 + 4a1 = 408 ==> 68a1= 408 ==> a1= 6
a6= 6 * 4^5
a6= 6 * 1024 ==> 6144
Achei a questão muito difícil.
Só consegui fazer vendo a explicação do Mario.
Parabéns pelo raciocínio, Mario.
A questão nos diz que a7 + a5 = 26.112 e a4 + a2 = 408 e quer saber o valor de A6=?
Com esses dados podemos descobrir a razão, pois a soma de dois termos intercalados por outro, dividido por outros dois termos anteriores intercalados por outro, é igual a Razão ao cubo. Ou seja:
a7 + a5/a4 + a2 = R³ --> 26.112/408 = R³ --> R³ =64 --> R=4
Agora podemos encontrar A1, pois sabemos que An=A1.R^n-1. Vamos escolher a equação que a soma é menor para fazermos as substituições:
a4 + a2 = 408
(A1.R^4) +(A1.R^1) = 408
(A1.4^4) +(A1.4^1) = 408
64A1+4A1=408 --> 68A1=408 --> A1=6
Vamos encontrar o A6 que a questão pede usando An=A1.R^n-1 .
A6=A1.R^5 --> A6=6.4^5 --> A6=6.1024 --> A6=6144
Achei a questão bem dificil. Não consegui entender pq a razão fica r³. poderiam explicar?
Eu resolvo da mesma forma que Mario, apenas procuro montar 2 equações com apenas 2 incógnitas para simplificar na sequência. Segue:
a7+a5=26.112
a7=(a1.q^6)
a5=(a1.q ^4)
Logo:
(a1.q^6)+(a1.q^4)=26.112, colocando em evidência:
Equação 1: a1.q^4.(q ^2 +1)=26.112
a4+a2=408
a4=a1.q ^3
a2= a1.q
Logo:
(a1.q^3)+(a1. q)=408, colocando em evidência:
Equação 2: a1.q (q ^2 +1)=408
Agora dividindo a equação maior pela menor temos:
[a1.q^4.(q ^2 +1)=26.112 ] / [a1.q (q ^2 +1)=408]
q^3=64
q^3= 4^3, corta os expoentes iguais
q=4
OBS:(@ricardo nunes, fica só q^3, pq q^4 cortando com "q" fica q^3, o a1 e tudo de dentro do parenteses acaba eliminado completamente e 26.112/408 fica 64)
Achado a razão, basta substituir o q na equação 2 para achar o a1:
a1.q (q ^2 +1)=408
a1.4.(4^2 +1)=408
a1.4.(17)=408
a1.68=408
a1=408/68
a1=6
Por fim, a6=a1. q^5
a6= 6.(4)^5
a6=6144
Alguém consegue esclarecer a parte depois que se acha (a1.q^6)+(a1.q^4)=26.112 e (a1.q^3)+(a1. q)=408 ?? Não entendi muito bem como se coloca esses termos em evidência...
Essa questão mesmo vendo a resolução dos colegas fica difícil de entender, a resolução teria que ser em vídeo para entender melhor!
Gaba: B
Nos 20:08, o professor Ferreto faz uma questão parecida. Consegui resolver através deste vídeo
https://www.youtube.com/watch?v=6ShsVLOtGQI
@MendigoSagaz: (a1.q^6)+(a1.q^4)=26.112 e (a1.q^3)+(a1. q)=408
É necessário colocar os termos em evidência de maneira que entre os colchetes, tenhamos os mesmos valores para ambas equações.
(a1.q^6)+(a1.q^4)
Pega o menor valor: a1 . q^4 ( q ^2 + 1) perceba que fazendo a multiplicação, a equação é retornada. Não esqueça que na potência você conserva a base e soma os expoentes.
(a1.q^3)+(a1. q)=408
a1 . q ( q^2 + 1) = 408
A professora levou quase 11 minutos para resolver a questão.....na prova eu ia levar uns 25 minutos para resolver....esse é a tipica questão para tirar preciosos minutos do candidato.
Concurseiros,
nessa questão, fazer o cálculo completo realmente tornava a questão difícil e demorada. Mas usando um pouco de raciocínio lógico dava para descartar rapidamente as opções C, D e E. Percebam que para C ser correta, o razão teria que ser = 1 pois 26112 = 2*13056. Assim, teriamos uma PG constante com todos os termos iguais a 13056 e, nesse caso, a2+a4 também seria igual a 26112.
Já para D e E serem corretas, a razão teria que ser menor que 1 para que a5+a7 fosse igual a 26112. Isso significaria que a2+a4 daria um resultado ainda maior que 26112.
Pensando nisso, de cara eu achei que a opção correta era a letra B. Se estivesse sem tempo, meu "chute direcionado" seria nessa opção. Mas, considerando que teria um pouco mais de tempo, resolvi fazer um teste usando a alternativa b e a razão 3:
a5 + a7 = 6144/3 + 6144*3 = 20480 -> o resultado tinha que ser maior, então vamos tentar com 4:
6144/4 + 6144*4 = 26112 -> BINGO!!!!!
Se tivesse mais um pouco de tempo ainda dava para continuar dividindo por 4 a partir do a5 para confirmar que a2+a4 resultava mesmo em 408.
Bons estudos!!
Se houvesse um nº ímpar entre as alternativas, essa alternativa poderia ser descartada?!?
"2^10 é um valor que a gente costuma saber, (pelo menos eu costumo saber)" (HEPPNER, Dani) mitando na resolução...
questão nivel hardcore! nem consegui resolve-la
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