Resolução longa... experimentem o famoso Teorema de Cramer! Utilizando esse teorema, cheguei aos seguintes resultados:

Determinante da matriz principal (D) = 2

Determinante da matriz substituindo os valores de x (Dx) = -2

Determinante da matriz substituindo os valores de y (Dy) = 4

Determinante da matriz substituindo os valores de z (Dz) = 8

x = Dx/D = -2/2 = -1

y = Dy/D = 4/2 = 2 

z = Dz/D = 8/2 = 4

x + y + z = -1 + 2 + 4 = 5 

Se você notar que da segunda equação para a terceira a única mudança é uma vez o “Y” a mais, deduz-se que uma vez o “Y” resultou em uma aumento de 2 unidades no resultado. Logo, “Y” = 2.

E usando o método de resolução da adição, você pode multiplicar a última equação por -3, fazendo com que as incógnitas “X” e “Y” sejam  “anuladas”  ao somar as 3 equações juntas.

 2X + 3Y + 2Z =  12

 X + 3Y + 2Z =  13

-3X - 6Y - 6Z = -33   SOMANDO AS 3 DE UMA VEZ, TEREMOS:

 0X + 0Y - 2Z = -8 Logo, ficaremos com  -2Z = -8, resultando em Z = 4

Agora que sabemos que Y=2 e Z=4, substituímos tais valores em qualquer uma das equações:

  X + 3Y + 2Z = 13

X + 3(2) + 2(4) = 13

X + 6 + 8 = 13

X = 13 - 8 - 6

X = -1

PORTANTO, X + Y + Z = -1 + 2 + 4 = 5

EQ1 :  2x+3y+2z=12

EQ2 :   x+3y+2z=12

EQ3 :   x+2y+2z=11

Subtraindo as equações:

EQ1 - EQ2  = (2x - x)+(3y - 3y)+(2z - 2z) = 12-13   logo x= -1

EQ2 - EQ3  = (x - x)+(3y - 2y)+(2z - 2z) = 13 -11   logo y= 2

Substituindo x e y na EQ3:

x + 2y + 2z = 11  =>  (-1) +2*(2) +2z = 11  =>  2z=11-3  => z=4

logo : x+y+z = -1 + 2 + 4        

Resposta:       x+y+z = 5

2x+3y+2z=12

x+3y+2z=13 (multiplica por -a1 -> -x-3y-2z=-13 , colocando a primeira com a segunda achamos o X=-1

SOBROU: x+2y+2z=11 substituindo o x-> 2y+2z=11+1 -> 2y+2z=12 (divide por 2)-> y+z=6 

logo

x+y+z= (-1)+6=5

O ponto chave pra resolver esse tipo de questão é conhecer as operações que podem ser feitas entre as equações de um sistema linear.

As operações básicas são 3:

- Troca de posição entre as equações;

- Multiplicação de uma equação por uma constante;

- Soma/substração entre equações.

Para resolver essa questão usamos a propriedade da soma/substração entre equações e a resolução já foi bem explicada no comentário de Guilherme Silva.