Se as medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em P...
Questão um pouco complicada, a ideia é usar o triângulo pitagórico, este possui seus lados em uma progressão aritmética.
Sendo os lados 3,4,5 e também múltiplos de seus lados são uma PA, portanto dizemos que 3n,4n,5n, sendo n o fator comum de todos
Supomos que a3 = 5n, pois é o maior valor, daí jogamos na fórmula da área do triângulo retângulo (a = (b.h)/2
150 = (3n.4n)/2
300 = 12n**2 (Elevado ao quadrado)
n**2 = 300/12
n**2 = 25
n= Raiz de 25 - > 5
Agora, pegamos o A3 que corresponde à hipotenusa e substituímos :
5n -> 5.5 = 25
Gabarito C)
Se os lados do triângulo retângulo estão em P.A., então
C = Cateto maior = x
c = cateto menor = x - r
H = hipotenusa = x + r
pelo Teorema de Pitágoras sabemos que:
(x + r)² = x² + (x -r)²
x² + 2xr + r² = x² + x² - 2xr + r²
..passando todos os termos do 2º grau para o mesmo lado
2xr + 2xr = x² + x² - x² + r² - r²
4xr = x²
...simplificando (dividindo ambos por "x")
4r = x
segundo a questão a área vale 150, ou seja
150 = (C . c )/2
150 = x . (x -r)/2
300 = x . (x -r)
como chegamos ao valor x = 4r, então substituindo teremos
300 = 4r . (4r - r)
300 = 4r . 3r
300 = 12r²
300/12 = r²
25 = r²
√25 = r = 5 <--- razão da PA
Medidas dos lados:
C = Cateto maior = x = 4r = 4 . 5 = 20
c = cateto menor = x - r = 20 - 5 = 15
H = hipotenusa = x + r = 20 + 5 = 25
Por incrível que pareça chutei assim e acertei:
150/2 = 75 (área divido por 2)
75/3 = 25 (resultado dividido pelos 3 lados)
Se achei usando alguma ideia racional me avisem aqui kkkkk
Se é uma P.A então pode definir a sequência como (x-r,x,x+r).
Utilizando o teorema de Pitágoras temos: (x+r)^2=(x-r)^2+x^2
x^2+2xr+r^2=x^2-2xr+r^2+x^2
Isolando xr temos,
2xr+2xr=x^2+x^2-x^2+r^2-r^2
4xr=x^2
4r=x^2/X
x=4r
Área do triângulo retângulo é b.h/2
Logo 150=(x-r).x/2
x^2-xr=300
(4r)^2-4r.r=300
16r^2-4r^2=300
12r^2=300
r=5
Substituindo x e r na PA (x-r,x,x+r) temos a PA de sequência (15,20,25)
Logo a hipotenusa é o 3° termo da PA.
Resposta C, 25