Raciocínio: trate as três amigas como um bloco de 3 lugares consecutivos.

O bloco pode começar nas posições 1, 2, 3 ou 4 4 posições.

Dentro do bloco, as amigas podem se permutar de 3! = 6 jeitos.

Sobram 3 lugares para André, Bruno e o assento vazio, que podem se arranjar de 3! = 6 jeitos.

Total: 4×6×6=144

Bloco das 3 amigas (1 elemento) + André + Bruno + cadeira vazia = 4 elementos

Dentro do bloco das amigas = 3!

4!×3! = 24×6 = 144

Primeiro, vamos identificar as informações e as restrições do problema:

• Pessoas: 5 no total (André, Bruno, Maria, Nina, Paula).
• Lugares: 6 poltronas vazias.
• Restrição Principal: As 3 amigas (Maria, Nina e Paula) querem sentar juntas.

Essa restrição ("sentar juntas") é a chave do problema. Em análise combinatória, quando um grupo de elementos deve permanecer junto, nós os tratamos como se fossem um único bloco.

• A ordem importa? Sim. Se André senta na ponta e Bruno ao lado, é diferente de Bruno sentar na ponta e André ao lado. Portanto, usaremos Permutação.

Vamos dividir a resolução em duas partes, como manda o método para esse tipo de problema.

Parte 1: Permutação dos Blocos (considerando as amigas como um bloco só)

1. Vamos "amarrar" as 3 amigas (Maria, Nina, Paula) em um único bloco. Vamos chamar esse bloco de [AMIGAS].
2. Agora, em vez de 5 pessoas, nós temos 3 "elementos" para organizar nos 6 lugares:

• André
• Bruno
• O bloco [AMIGAS]

1. Além desses 3 elementos, temos também a poltrona vazia, que também funciona como um elemento na permutação dos espaços.
2. Então, o nosso problema se resume a organizar 4 elementos (André, Bruno, [AMIGAS], Vazia) em 4 "super posições".
3. A permutação de 4 elementos é P(4) = 4! (4 fatorial).

• Cálculo: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneiras.

Isso nos dá o número de maneiras de organizar os irmãos e o "bloco" das amigas.

Parte 2: Permutação DENTRO do Bloco

1. Agora, olhamos para dentro do bloco [AMIGAS]. As três amigas (Maria, Nina e Paula) podem trocar de lugar entre si.
2. Como a ordem entre elas importa, temos que calcular a permutação das 3 amigas.
3. A permutação de 3 elementos é P(3) = 3! (3 fatorial).

• Cálculo: 3! = 3 × 2 × 1 = 6 maneiras.

Parte 3: Juntar Tudo (Princípio Multiplicativo)

Para encontrar o resultado final, nós multiplicamos as possibilidades da Parte 1 (permutação dos blocos) pelas possibilidades da Parte 2 (permutação dentro do bloco).

• Total de Maneiras = (Maneiras de organizar os blocos) × (Maneiras de organizar as amigas entre si)
• Total de Maneiras = 24 × 6
• Total de Maneiras = 144

O número de maneiras diferentes em que as 5 pessoas podem se sentar, com as 3 amigas sempre juntas, é 144.

Resposta Correta: C) 144.

Permutação 4! 4*3*2*1=24

Permutação 3! 3*2*1=6

Agora, multiplicação desses elementos 6×24=144

A gente tem 4 coisas para organizar em fila:

Bloco das amigas (MNP)

André (A)

Bruno (B)

Cadeira vazia (Ø)

Imagina que são 4 fichas diferentes.

Quantas formas dá pra colocar essas 4 fichas em ordem numa fila de 4 lugares?

Primeiro lugar: pode escolher qualquer uma das 4.

Segundo lugar: sobra 3.

Terceiro lugar: sobra 2.

Último lugar: sobra 1.

Ou seja:

4 × 3 × 2 × 1 = **24**

Esse é o número de jeitos de organizar os 4 elementos.

Depois, dentro do bloco das amigas, elas podem trocar de lugar entre si de 6 formas.

Então o total é:

24 × 6 = **144**

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