Alternativa Correta: A - e^-1

Tema Central: A questão aborda a distribuição exponencial, que é crucial para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson, como a duração de chamadas telefônicas.

A distribuição exponencial é definida pela função de densidade de probabilidade \( f(x|\lambda) = \lambda e^{-\lambda x} \), onde \(\lambda\) é a taxa de eventos (inverso da média). Neste caso, a média é de 3 minutos, o que implica que \(\lambda = \frac{1}{3}\) por minuto.

Resumo Teórico: O conceito principal aqui é o da memória sem memória da distribuição exponencial. Isso significa que a probabilidade de o tempo de espera adicional é independente do tempo já decorrido. É por isso que precisamos calcular a probabilidade condicional.

Justificando a Alternativa Correta: Queremos saber a probabilidade de uma ligação durar pelo menos 5 minutos dado que já durou 2 minutos. Isso é uma questão de probabilidade condicional:

P(T > 5 | T > 2) = P(T > 3) / P(T > 2)

Com P(T > x) = e^{-\lambda x}, temos:

• P(T > 3) = e^{-\frac{1}{3} \times 3} = e^-1
• P(T > 2) = e^{-\frac{1}{3} \times 2} = e^-2/3

Assim, a probabilidade condicional é:

P(T > 5 | T > 2) = e^-1 / e^-2/3 = e^-\frac{1}{3} = e^-1

A alternativa correta é, portanto, A - e^-1.

Analisando as Alternativas Incorretas:

• B - e^-2: Incorreta, pois não representa o cálculo correto usando probabilidades condicionais.
• C - e^-3: Incorreta, representa erroneamente a probabilidade de uma ligação de 3 minutos sem considerar o tempo já decorrido.
• D - 1 - e^-3: Incorreta, isso representa a distribuição acumulada até 3 minutos, não a condicional após 2 minutos.
• E - 1 - e^-5: Incorreta, pois isso representaria a chance de uma ligação não durar até 5 minutos, desconsiderando a condição inicial.

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Questão bem difícil. O cara já está na ligação a pelo menos 2 minutos. Para ele ficar pelo menos 5 minutos no total, ele deve, então, ficar  no mínimo mais 3 minutos. A probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor menor ou igual a x é dada por 1 - e-λx, onde esse x = 3 nesse caso. Porém, como queremos achar a probabilidade dele ficar pelo menos 5 minutos, temos que fazer 1 - (1 - e-λx), ou seja, e-λx. O  λ achamos através da média: E(X) = 1/λ, logo λ = 1/3. Aí é só aplicar na fórmula, que acharemos e-1

Trata-se de uma distribuição exponencial. Portanto:

média = 3 = 1/λ --> λ = 1/3

fdp de uma distribuição exponencial é λe^(-λ*x).

como já se passaram 2 minutos, para cinco faltam 3. Logo iremos calcular a probabilidade de ser maior que 3.

Integral de λe^(-λ*x) = λ*e^(-λ*x) /-λ = -1*e^(-λ*x)

Como λ = 1/3 --> -1*e^(-1/3*x)

Limites de integração: inferior = 3; superior = infinito (lembre-se que é maior que 3!)

-1 * [ e^(-1/3*inf) - e^(-1/3*3) ] = -1* [0 - e^-1 ] = e^-1

Lembrar que a distribuição exponencial tem uma propriedade de falta de memória:

P(x>5|x>2) = P(x>3)