O tempo de ligações telefônicas segue uma distribuição de pr...

A alternativa correta é A - e^-1.

Tema Central da Questão: A questão aborda a distribuição exponencial, um conceito fundamental em estatística e econometria, especialmente relevante para modelar eventos contínuos como o tempo entre chegadas de chamadas telefônicas.

A distribuição exponencial é amplamente utilizada na análise de tempos de espera ou durações, onde a taxa de ocorrência de eventos é constante. A função de densidade de probabilidade (pdf) para uma variável aleatória exponencial X com taxa λ é dada por:

f(x; λ) = λe^-λx, para x ≥ 0.

Resumo Teórico: Em uma distribuição exponencial, a média (µ) é dada por 1/λ. A questão informa que a média é de 3 minutos, portanto, λ = 1/3.

Para calcular a probabilidade de uma ligação durar pelo menos 5 minutos dado que ela já durou 2 minutos, usamos a fórmula da probabilidade condicional na distribuição exponencial:

P(X > 5 | X > 2) = P(X > 5 - 2) = P(X > 3).

Dessa forma, queremos calcular:

P(X > 3) = e^{-λ * 3} = e^{-(1/3) * 3} = e^-1.

Justificativa da Alternativa Correta: A alternativa A - e^-1 é a correta, pois representa a probabilidade de a ligação durar mais 3 minutos, após os 2 minutos já passados.

Análise das Alternativas Incorretas:

• B - e^-2: Esta alternativa calculou a probabilidade incorretamente, considerando uma duração adicional errada.
• C - e^-3: Esta alternativa ignora a condição de que a ligação já dura 2 minutos.
• D - 1 - e^-3: Esta forma calcula a probabilidade complementar para uma condição errada.
• E - 1 - e^-5: Esta alternativa considera um tempo total de 5 minutos como uma probabilidade complementar incorreta.

Estratégia de Interpretação: Ao lidar com questões sobre tempo e condições, é crucial identificar a variável de interesse e aplicar a fórmula correta de probabilidade condicional. Preste sempre atenção a condições iniciais e dados adicionais fornecidos no enunciado.

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Questão bem difícil. O cara já está na ligação a pelo menos 2 minutos. Para ele ficar pelo menos 5 minutos no total, ele deve, então, ficar  no mínimo mais 3 minutos. A probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor menor ou igual a x é dada por 1 - e-λx, onde esse x = 3 nesse caso. Porém, como queremos achar a probabilidade dele ficar pelo menos 5 minutos, temos que fazer 1 - (1 - e-λx), ou seja, e-λx. O  λ achamos através da média: E(X) = 1/λ, logo λ = 1/3. Aí é só aplicar na fórmula, que acharemos e-1

Trata-se de uma distribuição exponencial. Portanto:

média = 3 = 1/λ --> λ = 1/3

fdp de uma distribuição exponencial é λe^(-λ*x).

como já se passaram 2 minutos, para cinco faltam 3. Logo iremos calcular a probabilidade de ser maior que 3.

Integral de λe^(-λ*x) = λ*e^(-λ*x) /-λ = -1*e^(-λ*x)

Como λ = 1/3 --> -1*e^(-1/3*x)

Limites de integração: inferior = 3; superior = infinito (lembre-se que é maior que 3!)

-1 * [ e^(-1/3*inf) - e^(-1/3*3) ] = -1* [0 - e^-1 ] = e^-1

Lembrar que a distribuição exponencial tem uma propriedade de falta de memória:

P(x>5|x>2) = P(x>3)