Suponha que a quantidade pivotal para a construção de um in...
Suponha que a quantidade pivotal para a construção de um
intervalo de confiança do parâmetro θ é dada por
tendo
distribuição uniforme no intervalo (1,5).
Assim, um intervalo de confiança para um grau de confiança de
75% para uma estimativa amostral de 
= 324 terá seus limites
dados por:
O que significa o apóstrofo que acompanha o parâmetro?
https://www.youtube.com/watch?v=Y6L5vkcWLsI
Se Q=Q(X1,...,Xn;θ) é uma quantidade pivotal com função de densidade de probabilidade, então:
Para cada γ=1−α fixado, é possível encontrar q1 e q2 na distribuição de Q tal que P(q1≤Q≤q2)=γ, sendo a distribuição de Q independente de θ.Em especial, então q1 e q2 também não dependem de θ2, tais que:
q1≤Q≤q2 se e somente se T1≤θ≤T2
então [T1,T2]é um intervalo de 100(1−α)% de confiança para θ.
Dessa forma, a resposta do exercício se dará ao se encontrar os valores de T1 e T2. Como Q segue uma distribuição uniforme em (1,5), então sua função de densidade de probabilidade será fq(x)=1/4, se 1≤x≤5 com fq(x)=0 caso contrário. Além disso, temos que
P(q1≤Q≤q2)=0,75
o que implica que
P(Q<q1)=P(Q>q2)=0,125
Logo
0,125=P(Q<q1)=∫fQ(x)dx variando de 1 a q1 = q1/4 - 1/4,donde concluímos que q1=1,5.
De maneira análoga,
0,125=P(Q>q1)=∫fQ(x)dx=5/4 e assim q_2 = 4,5. Por fim, usando que Q=√θ^/2θ=9/θ
segue que
q1≤Q≤q2
1,5 ≤ 9/θ ≤4,5
6≥θ≥2.
obs: 9/θ veio do fato de que Q=√θ^/2θ = √324/2θ = 18/2θ = 9/θ
Gabarito: Letra B
Quando a questão nos diz que quer um intervalo com 75% de confiança, ela quer dizer que em cada lado da área deve sobrar 12,5% (25%/2).
Para encontrarmos a altura fazemos:
base x h = 1
base = (b-a) = (5-1) = 4
PS: b e a são o intervalo dado pela questão (1,5)
4h = 1
h = 1/4
Lado esquerdo:
base = (x - 1)
(x - 1) x 1/4 = 0,125
x - 1 = 0,5
x1 = 1,5 (igual ao x do lado esquerdo da figura)
Lado direito:
base = (5 - x)
(5 - x) x 1/4 = 0,125
5 - x = 0,5
x2 = 4,5 (igual ao x do lado direito na figura)
Agora vamos usar a1 e a2 na fórmula do enunciado no lugar de teta
raiz de 324 = 18
18/(2xa1) = 6
18/(2xa2) = 2