As Progressões Aritméticas an e bn possuem a mesma razão e ...

Basta aplicar a fórmula de progressão aritmética junto com os conceitos de equação do primeiro grau com duas incógnitas, usando o método da substituição.

Resposta: alternativa a

"As Progressões Aritméticas an e bn possuem a mesma razão e a soma dos seus respectivos primeiros termos é igual a 80"

Isso quer dizer que a1 + b1 = 80

Usando a equação a = a + (n-1)*r, para saber os valores de a5 e b27, encontramos (a razão, r, é a mesma para ambas progressões):

a5 = a1 + 4r e

b27 = b1 + 26r

Usando a informação de que "a5 + b27 = 140" e substituindo pelos valores acima:

a1 + 4r + b1 + 26r = 140

a1 + b1 = 80, então:

30r + 80 = 140 -> 30r = 60 -> r = 60/30

r = 2

Organizando tudo o que o enunciado fornece:

A razão (r) de an e bn são iguais

a1 + b1 = 80

a5 + b27 = 140

Basta colocarmos na formula e substituirmos:

a5 = a1+(5-1)r => a5 = a1+4r

b27 = b1+(27-1)r => b27 = b1+26r

Substituímos na formula a5 + b27 = 140:

a1+4r+b1+26r = 140 => a1+b1+4r+26r = 140 => a1+b1+30r = 140

Chegamos num impasse por ter o a1 e b1 que não sabemos, mas podemos apenas substituí-los pela formula a1+b1 = 80:

80+30r = 140 => 30r = 140-80 => 30r = 60 => r=60/30 => r=2