Alternativa correta: A - As afirmações I, II e III são verdadeiras.

Tema central: A questão aborda propriedades de conjuntos finitos e a interpretação de quantificadores lógicos universais (∀) e existenciais (∃). Esse conhecimento é fundamental em provas de raciocínio lógico, especialmente em questões de análise de proposições em universos restritos.

Resumo teórico:
O símbolo ∀ (para todo) indica que a propriedade deve ser verdadeira para todos os elementos do conjunto. O símbolo ∃ (existe) pede que pelo menos um elemento satisfaça a propriedade.
Fonte: Grimaldi, R. C. - Discrete and Combinatorial Mathematics

Análise das afirmações:

I. "∀ x ∈ U, 2x + 1 < 5" é falsa.
Verificando: Para x=3, 2x+1=7 (não é menor que 5). Logo, a proposição é falsa e a afirmação I está correta.

II. "∃ x ∈ U, x² = 4" é verdadeira.
Verificando: x=2, 2²=4. Existe ao menos um x em U satisfazendo a condição. Portanto, proposição verdadeira e afirmação II correta.

III. "∀ x ∈ U, x ≤ 5" é verdadeira.
Todos os elementos de U (0,1,2,3,4,5) respeitam x ≤ 5. Logo, proposição verdadeira e afirmação III correta.

Análise das alternativas incorretas:

• B, C, D: Descartadas pois não contemplam todas as afirmações verdadeiras.
• E: Incorreta, pois todas as afirmações são verdadeiras, não falsas.

Dicas de interpretação:

- Leia atentamente os quantificadores (∀ e ∃) e sempre verifique cada elemento do conjunto indicado.
- Cuidado com frases negativas: "é falsa" pode trazer confusão se não houver atenção ao sentido lógico.
- Faça substituições sistemáticas para garantir que a propriedade é (ou não) satisfeita.

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1. I: Para todos os xx do conjunto UU, 2x+1<52x + 1 < 5.
2. Isso é falso, porque para x=2x = 2, 2(2)+1=52(2) + 1 = 5, que não é menor que 5.
3. Logo, a afirmação I é verdadeira (porque ela diz que essa proposição é falsa).
4. II: Existe um xx no conjunto UU tal que x2=4x^2 = 4.
5. Isso é verdadeiro, porque 22=42^2 = 4.
6. III: Para todos os xx no conjunto UU, x≤5x \leq 5.
7. Isso é verdadeiro, porque todos os números no conjunto U={0,1,2,3,4,5}U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} são menores ou iguais a 5.

Portanto, todas as afirmações são verdadeiras.

Resposta: A.

Não sei nem começar a raciocinar nesta questão e o único colega não esclareceu... Comentário de professor solicitado.

Vamos analisar cada uma das afirmações com base no conjunto U={0,1,2,3,4,5}

U={0,1,2,3,4,5}:

I. A proposição ∀x∈U,2x+1<5

∀x∈U,2x+1<5 é falsa.

Para verificar essa proposição, precisamos testar todos os valores de x

x no conjunto U

U:

• Para x=0
• x=0: 2×0+1=1
• 2×0+1=1 (verdadeiro)
• Para x=1
• x=1: 2×1+1=3
• 2×1+1=3 (verdadeiro)
• Para x=2
• x=2: 2×2+1=5
• 2×2+1=5 (falso)
• Para x=3
• x=3: 2×3+1=7
• 2×3+1=7 (falso)
• Para x=4
• x=4: 2×4+1=9
• 2×4+1=9 (falso)
• Para x=5
• x=5: 2×5+1=11
• 2×5+1=11 (falso)

Como a proposição é falsa para x=2,3,4,5

x=2,3,4,5, a afirmação I é verdadeira.

II. A proposição ∃x∈U,x2=4

∃x∈U,x2

=4 é verdadeira.

Para verificar essa proposição, precisamos encontrar pelo menos um valor de x

x no conjunto U

U que satisfaça x2=4

x2

=4:

• Para x=0
• x=0: 02=0
• 02
• =0 (falso)
• Para x=1
• x=1: 12=1
• 12
• =1 (falso)
• Para x=2
• x=2: 22=4
• 22
• =4 (verdadeiro)
• Para x=3
• x=3: 32=9
• 32
• =9 (falso)
• Para x=4
• x=4: 42=16
• 42
• =16 (falso)
• Para x=5
• x=5: 52=25
• 52
• =25 (falso)

Como existe x=2

x=2 que satisfaz x2=4

x2

=4, a afirmação II é verdadeira.

III. A proposição ∀x∈U,x≤5

∀x∈U,x≤5 é verdadeira.

Para verificar essa proposição, precisamos testar todos os valores de x

x no conjunto U

U:

• Para x=0
• x=0: 0≤5
• 0≤5 (verdadeiro)
• Para x=1
• x=1: 1≤5
• 1≤5 (verdadeiro)
• Para x=2
• x=2: 2≤5
• 2≤5 (verdadeiro)
• Para x=3
• x=3: 3≤5
• 3≤5 (verdadeiro)
• Para x=4
• x=4: 4≤5
• 4≤5 (verdadeiro)
• Para x=5
• x=5: 5≤5
• 5≤5 (verdadeiro)

Como todos os valores de x

x no conjunto U

U satisfazem x≤5

x≤5, a afirmação III é verdadeira.

Portanto, as afirmações I, II e III são todas verdadeiras.

Em símbolos lógicos, o quantificador universal (usualmente ∀) é o símbolo usado para denotar o universo de quantificação, informalmente lido como "para todo" ou "para qualquer".

I. A proposição ∀ ∈ , 2 + 1 < 5 é falsa.

II. A proposição ∃ ∈ , = 4 é verdadeira.

III. A proposição ∀ ∈ , ≤ 5 é verdadeira

Universo:

U={0,1,2,3,4,5}

I.

“∀ ∈ , 2 + 1 < 5” → “Para todo x em U, 2x+1 < 5”.

Testando:

• x=2x=2 → 2⋅2+1=5 2⋅2+1=5 que não é menor que 5.
• Então é falsa (não é verdade para todo x).
• A afirmação I diz: “Esta proposição é falsa” → Correto. ✅

II.

“∃ ∈ , ² = 4” → “Existe x em U tal que x² = 4”.

• x=2x=2 → 22=4 22=4 ✓
• Então é verdadeira.
• A afirmação II diz: “Esta proposição é verdadeira” → Correto. ✅

III.

“∀ ∈ , ≤ 5” → “Para todo x em U, x ≤ 5”.

Todos os elementos de U são ≤ 5? Sim.

Então é verdadeira.

A afirmação III diz: “Esta proposição é verdadeira” → Correto. ✅

• E: Incorreta, pois todas as afirmações são verdadeiras, não falsas.